Analysis 1E - Formelsammlung (v1.1)
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1 Einf¨
uhrung
1.1 ZahlenmengenS1
N = {1, 2, 3, ...} ;
N0 = {0, 1, 2, 3, ...} ;
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ..} ;
√
Q = {x|x = p/q mit p ∈ Z und (q ∈ Z
{0})} ;
R = zB
2, π, φ
1.2 Mengenlehre
A = {−2, −1, 0, 1, 2} , B = {0, 1, 2, 3, 4}
A ∩ B = {x|x ∈ A und x ∈ B}
A ∩ B = {0, 1, 2}
A ∪ B = {x|x ∈ A oder x ∈ B}
A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2}
A
B = {x|x ∈ A und x /
∈ B}
A
B = {−2, −1}
Kommutativgesetz:
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
Assoziativgesetz:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Distributivgesetz:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
1.3 BeweismethodenS5
1.4 Spezielle UngleichungenS30
Bernoulli-Ungleichung:
(1 + a)n > 1 + n · a
f¨
ur n ∈ N, n ≥ 2, a ∈ R, a > −1, a = 0
Binomische Ungleichung:
|a · b| ≤ 1 (a2 + b2)
2
Dreiecksungleichung:
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a − b| ≤ |a| + |b|
|a − b| ≥ ||a| − |b||
Geometrisches und arithmetisches Mittel:
√
n
f¨
ur ai ≥ 0, n ∈ N, i ∈ {1, 2, ..., n} :
n a1a2 . . . an ≤ 1 ·
a
n
i = a1+a2+...+an
n
i=1
√
Minima/Maxima:
min{ai} ≤ n a1a2 . . . an ≤ max{ai}
Nat¨
urliche Funktionen:
1 + x ≤ ex ≤
1
1 − 1 ≤ ln(x) ≤ x − 1
1−x
x
1.5 Umgebung
Jedes offene Intervall, dass die Zahl a enth¨
alt, heisst eine Umgebung von a.
Schreibweise: U(a)
Es sei
> 0. Unter der -Umgebung von a versteht man das offene Intervall (a − , a + ).
Schreibweise: U (a)
Eine -Umbebung von a ohne die Zahl a selbst wird punktierte -Umgebung von a genannt.
Schreibweise: ˙
U (a) = U (a)
a
1.6 SummenzeichenS7
mit 1 ≤ m ≤ n
Die Laufvariable i wird immer um 1 aufaddiert. i immer kleiner-gleich n (z.B. wenn i ∈ R)
n
m
n
n
n−j
n
n
n
n
ai =
ai +
ai;
ai =
ai+j;
a = n · a;
(λai + βbi) = λ
ai + β
bi
i=1
i=1
i=m+1
i=1
i=1−j
i=1
i=1
i=1
i=1
1.7 ProduktzeichenS7
n
an
(x − xi) = an · (x − x1) · (x − x2) · ... · (x − xn)
i=1
1.8 Fakult¨
atS13
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n
f¨
ur n ∈ N, n ≥ 3
n! > 2n−1
1.9 Binomischer SatzS12
n
n
(a + b)n =
n
i an−i · bi;
n
n
i
= n(n−1)·...·(n−i+1) ;
i
=
n − i
i=0
1·2·3·...·i
n
n
n+1
n
n
i − 1
+
i
=
i
;
i
=
n!
;
i!(n−i)!
0 = 1
1.10 Einige Wurzeln
√
√
√
√
√
2 = 1.414;
3 = 1.732;
5 = 2.236;
6 = 2.449;
7 = 2.645;
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2 FunktionenS48
2.1 Einleitung
Schreibweisen:
Definitionen:
Achsenbezeichnungen:
f : Df → Wf mit x → f (x)
x ⇒ Argument oder Variable von f
Abszisse = X-Achse
f : x → f (x) mit x ∈ Df
f (x) ⇒ Funktionswert, Wert von f an der Stelle x
Ordinate = Y-Achse
y = f (x) mit x ∈ Df
x → f (x) oder y = f (x) ⇒ Zuordnungsvorschrift
Applikate = Z-Achse
Df ⇒ Definitonsmenge oder Definitionsbereich
Wf ⇒ Wertemenge oder Wertebereich
2.2 Transformationen
1.
a
Vertikale Streckung um a bzw. Spiegelung an x bei -a
± a · f ( ± b · ( x ± c)) ± d
2.
b
Horizontale Streckung um 1/b bzw. Spiegelung an y bei -b
3.
c
Verschiebung nach links (+c) oder rechts (-c)
4.
d
Verschiebung nach oben (+d) oder unten (-d)
2.3 Spezielle Funktionen
Identit¨
at:
Signumfunktion:
Gauss-Klammer:
Schreibweise: f (x) = x
Schreibweise: f (x) = sgn(x)
Schreibweise: f (x) = [x]
 1, falls x > 0

Definition:
Definiton: y =
0, falls x = 0
Definition:
Der X-Wert ist gleich dem Y-Wert
 -1, falls x < 0
rundet den Y-Wert ganzzahlig ab
2.4 UmkehrfunktionS52
Schreibweise: f −1
Definition: ein Y-Wert darf nur einmal vorkommen und Wf muss ∈ Df sein
2.5 Verkettung oder mittelbare Funktion
Schreibweise: h(x) = g ◦ f ⇒ h(x) = g(f (x))
Sprechweise: g nach f
Wertebereiche: Wh = Wf → Dh = Dg
h(x) = f ◦ g ⇒ h(x) = f (g(x))
f nach g
Wh = Wg → Dh = Df
Wichtig: Funktionen sind nacheinander ausf¨
uhrbar, wenn der Wf bzw. Wg der 1.Funktion im Dg bzw. Df der 2.Funktion
enthalten ist.
2.6 Beschr¨
anktheitS51
2.7 MonotonieS50 (siehe auch 5.7.1, Monotonie (S. 7))
monoton wachsend −→ x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)
streng monoton wachsend −→ x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)
monoton fallend −→ x1 > x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2)
streng monoton fallend −→ x1 > x2 ⇒ f (x1) > f (x2)
2.8 Gerade/Ungerade FunktionenS51
Funktion ist gerade wenn f (−x) = f (x) ⇒ Achsensymmetrisch
Funktion ist ungerade wenn f (−x) = −f (x) ⇒ Punktsymmetrisch
2.9 Ganzrationale Funktionen (Polynom)S62 u. 64
Aussehen:
f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
Nullstellen bestimmen (siehe auch 1.7, Produktezeichen (S. 1)):
√
•
−b±
b2−4ac
falls Polynom (ax2 + bx + c) quadratische L¨
osungsformel:
2a
• faktorisieren mit Hilfe von Binomen
• faktorisieren mit Hilfe des HornerschemasS914
Wichtig: eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat h¨
ochstens n verschiedene Nullstellen
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2.10 HornerschemaS914
- Pfeile ⇒ Multiplikation
Beispiel:
- Zahlen pro Spalte werden addiert
f (x) = x3 − 67x − 126
x1 ⇒ Nullstelle (muss erraten werden!!)
oberste Zeile = zu zerlegendes Polynom
⇒ f (x) = (x − x1)(b2x2 + b1x + b0) = (x + 2)(x2 − 2x − 63)
2.11 Gebrochenrationale FunktionenS62 u. 66
Aussehen:
pm(x)
amxm + am−1xm−1 + · · · + a1x + a0
f (x) =
=
qn(x)
anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
Definitionen:
• wenn m < n ist f echt gebrochen, wenn m ≥ n ist f unecht gebrochen
• x1 ist Nullstelle von f falls pm(x1) = 0 und qn(x1) = 0 gilt.
• x1 heisst Polstelle von f falls qn(x1) = 0 und pm(x1) = 0 gilt.
• x1 heisst L¨
ucke von f falls qn(x1) = 0 und pm(x1) = 0 gilt.
• Jede unecht gebrochene rationale Funktion l¨
asst sich als Summe einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochenen
Funktion schreiben. Dies ist m¨
oglich mit der PolynomdivisionS15
2.12 PartialbruchzerlegungS15
x2 + 20x + 149
Nenner faktorisieren mit
f (x) =
⇒
⇒ x3 + 4x2 − 30 = (x + 2)(x2 + 2x − 15) = (8x + 2)(x + 5)(x − 3)
x3 + 4x2 − 11x − 30
HornerschemaS914, Binom, etc.
Ansatz:
x2 + 20x + 149
A
B
C
A(x + 2)(x + 5) + B(x − 3)(x + 5) + C(x − 3)(x + 2)
f (x) =
=
+
+
=
x3 + 4x2 − 11x − 30
x − 3
x + 2
x + 5
(x − 3)(x + 2)(x + 5)
Gleichungssystem aufstellen mit beliebigen xi-Werten (am Besten Polstellen oder 0,1,-1 w¨
ahlen):
x1 = 3 : −9 + 60 + 149 = A · 5 · 8
⇒ A = 5
5
7
1
x2 = −2 : −4 − 40 + 149 = B(−5) · 3 ⇒ B = −7
⇒ f (x) =
+
x − 3
x + 2 x + 5
x3 = −5 : −25 − 100 + 149 = C(−8)(−3) ⇒ C = 1
weitere Ans¨
atze f¨
ur andere Typen von Termen:
5x2 − 37x + 54
A
B
C
A(x − 3)2 + Bx(x − 3) + Cx
f (x) =
=
+
+
=
x3 − 6x2 + 9x
x
x − 3
(x − 3)2
x(x − 3)2
1, 5x
A
B
C
A(x − 2)2 + B(x − 2) + C
f (x) =
=
+
+
=
x3 − 6x2 + 12x − 8
x − 2
(x − 2)2
(x − 2)3
(x − 2)3
x2 − 1
A
Bx + C
A(x2 + 4x + 6) + (Bx + C)(x − 2)
f (x) =
=
+
=
x3 + 2x2 − 2x − 12
x − 2
x2 + 4x + 6
(x − 2)(x2 + 4x + 6)
2.13 Trigonometrische FunktionenS76
sin : Df = [− π , π ] → W
, π ]
2
2
f = [−1, 1]
arcsin : Df = [−1, 1] → Wf = [− π2 2
cos : Df = [0, π] → Wf = [−1, 1]
arccos : Df = [−1, 1] → Wf = [0, π]
tan : Df = (− π , π ) → W
, π )
2
2
f = R
arctan : Df = R → Wf = (− π2 2
cot : Df = (0, π) → Wf = R
arccot: Df = [−1, 1] → Wf = (0, π)
2.14 Potenz- und WurzelfunktionenS8,71
gerade Potenzfunktion: D
+
f = R → Wf = R
ungerade Potenzfunktion: D
0
f = R → Wf = R
gerade Wurzelfunktion: D
+
f = R
→ Wf = R ungerade Wurzelfunktion: Df = R → Wf = R
2.15 Hyperbolische FunktionenS88
sinh(x) = ex−e−x ; D =
; D =
; D =
2
R, W = R
cosh(x) = ex+e−x
2
R, W = [1, ∞)
tanh(x) = ex−e−x
ex+e−x
R, W = (−1, 1)
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2.16 Logarithmus- und e-FunktionS72
e-Funktion: D
+
+
f = R → Wf = R
Logartihmus-Funktion: Df = R → Wf = R
3 Zahlenfolgen
3.1 Einf¨
uhrung:
arithmetische Folge:
Monotonie:
a1 = c und an+1 = an + d
d = a
≥ bzw. > 0 ↑ bzw. ⇑
n+1 − an
≤ bzw. < 0 ↓ bzw. ⇓
geometrische Folge:
q = an+1
≥ bzw. > 0 ↑ bzw. ⇑
a
a
n
1 = c und an+1 = q ∗ an
≤ bzw. < 0 ↓ bzw. ⇓
3.2 Beschr¨
anktheitS51
Beschr¨
ankt wenn k ≤ an ≤ K, wobei k bzw. K die untere bzw. obere Schranke ist
3.2.1 Bolzano-Weierstrass
Jede beschr¨
ankte, reelle Zahlenfolge (mit unendlich vielen Gliedern) enth¨
alt mindestens eine konvergente Teilfolge.
3.3 Grenzwerte von rekursiven Folgen
1. Monotonie annehmen (ev. erste Glieder berechnen)
⇒ mit vollst¨
andider Induktion beweisen
z.B.
Verankerung:
f1 < f2 ⇒ 1 < 2
√
Vererbung:
fn < fn+1
| ...
| + 1
√
fn+1 =
fn + 1 <
fn+1 + 1 = fn+2
2. Hypothetischer Grenzwert ausrechnen (indem man Beschr¨
ankheit annimmt und den Limes zieht)
√
√
z.B.
fn + 1 = fn+1 ⇒ lim
x + 1 = x (fn = fn+1 in Unendlichkeit!!)
n→∞
√
√
⇒ x = 3± 5 ⇒ x = 3+ 5 (da der Grenzwert gr¨
osser sein muss als 1(monoton steigend siehe 1.))
2
2
3. Beschr¨
anktheit mittels des hypothetischen Grenzwertes und vollst¨
andiger Induktion beweisen
√
z.B.
Verankerung:
f
5
1 < 3+
< 3 ⇒ 1 < 3
2
√
Vererbung:
fn < 3
| ...
| + 1
√
√
fn+1 =
fn + 1 <
3 + 1 < 3
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4 Grenzwerte S53
4.1 Berechnung von Grenzwerten S56
n
1
n
1
Technik des Erweiterns: lim
=⇒ Erweitern mit
=⇒ lim n2 = lim
= 0 (siehe auch 5.6, Bernoulli-Hospital (S. 7))
n→∞ n2
n2
n→∞ n2
n→∞ n
n2
√
√
√
√
√
√
( n + 1 −
n)( n + 1 +
n)
n + 1 − n
Binom. Formel:
lim
n + 1 −
n = lim
√
√
= lim √
√
= 0
n→∞
n→∞
n + 1 +
n
n→∞
n + 1 +
n
Ausserdem gibt es das Prinzip der Einschliessung: Die zu untersuchende Funktion wird in eine Ungleichung mit bekannten
Grenzwerten (siehe auch 1.4, Spez. Ungleichungen (S. 1)) eingeschlossen.
4.2 Links-/Rechtsseitiger Grenzwert S54
Rechtsseitiger Grenzwert:
lim f (x) = lim f (x) = g+
x→x+
x↓x0
0
Linksseitiger Grenzwert:
lim f (x) = lim f (x) = g−
x→x−
x↑x0
0
4.3 Konvergenz, Divergenz
Konvergenz: g+ = g− = g ∈ R oder: monoton und beschr¨ankt
Bestimmte Divergenz: g = +∞ oder: g = −∞
Unbestimmte Divergenz: Es existiert kein Grenzwert
(g f¨
ur Grenzwert)
4.4 Stetigkeit S59
Wenn man die Funktion mit einem Strich zeichnen kann“:
”
lim f (x) = f (x0)
x→x0
4.5 Spezielle Grenzwerte S19, 427
sin x
xα
(ln x)α
lim
= 1
lim
= 0 (a > 1; α, β > 0)
lim
= 0
x→0
x
x→∞ aβx
x→∞
xβ
a
1
ax − 1
lim (1 +
)x = ea
lim (1 + x) x = e
lim
= ln a
x→∞
x
x→0
x→0
x
log (x + 1)
1
(ln x)α
x2 − 4
lim
a
=
lim
= 0
lim ln
= ln 2
x→0
x
ln a
x→∞
xβ
x→2
x − 2
ln x
ex − 1
lim
= 1
lim x ln x = 0
lim
= 1
x→1 x − 1
x→0+
x→0
x
n
x
+∞
q ≥ 1
(1 + x)α − 1
lim
= 1
lim
qk =
lim
= α
x→0 1 − e−x
x→∞
1
|q| < 1
α→0
x
k=0
1−q
xn
xk
√
lim
= 0 (x > 0)
lim
= 0 (q > 1; k ∈
x
N)
lim
p = 1
x→∞ n!
x→∞ qx
x→∞
4.6 Asymptotenbestimmung S15
Ausrechnen der Asymptote einer gebrochen rationalen Funktion r : x → r(x) = Pm(x) :
Qn(x)
m < n
m = n
m > n
lim r(x) =
0
am
+∞ oder −∞
x→±∞
bn
Asymptote
x-Achse
Parallel zur x-Achse
Ganzrationaler Teil
y = g(x) = am
der Polynomdivision
bn
(siehe auch 5.7.5, Asymptote (S. 7))
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5 Differentialrechnung S394
f (x
f (x0+h)−f (x0)
0) = df |
= ( d f )
= Df (x
dx x=x0
dx
x=x0
0) = lim
h→0
h
f (x0): Ableitung oder Differentialquotionent von f an der Stelle x0
f
f (x0+h)−f (x0)
f (x0+h)−f (x0)
r (x0) = lim
fl (x0) = lim
h↓0
h
h↑0
h
Rechtsseitige fr(x0) bzw. linksseitige fl (x0) Ableitung.
Falls fr(x0) = fl (x0) und f an der Stelle x0 stetig, dann ist f an der Stelle x0 differenzierbar.
5.1 Spezielle Ableitungen S396
(|x|) = sgn(x) = |x| = x , x = 0
(tan x) = 1 + tan2 x, x ∈
π
(cot x) = −(1 + cot2 x), x ∈
x
|x|
R\
2k+1
2
R\ {kπ}
5.2 H¨
ohere Ableitungen S402
(sin x)(2k+1) = (−1)k cos x, k ∈ N0
(sin x)(2k) = (−1)k sin x, k ∈ N
(cos x)(2k−1) = (−1)k cos x, k ∈ N
(cos x)(2k) = (−1)k cos x, k ∈ N
(n)
1 + x
2 · n!
√
1 · 3 · ... · (2n − 3)
=
( x)(n) = (−1)n+1 ·
√
1 − x
(1 − x)n+1
2nxn−1
x
(n)
1 + x
(n − 1)!
(n − 1)!
ln
= (−1)n+1 ·
+
(x · ex)(n) = n · ex + x · ex = ex(n + x)
1 − x
(1 + x)n
(1 − x)n
5.3 Differential, Fehlerrechnung S850/968
absoluter Fehler: |∆y| ≈ |dy| = |f (¯
x)| · |dx| ≤ |f (¯
x)| · |δ|
relativer Fehler: f (¯
x)
· |dx| ≤ f (¯x) · |δ| = f (¯x) · |δ|
¯
y
¯
y
f (¯
x)
Auf n-Stellen nach dem Komma genau ⇒ absoluter Fehler: δ = ±0.5 · 10−n
5.4 Mittelwertsatz S404
f (b) − f (a) = f (ξ)
b − a
5.5 Taylor Polynom S405
f (x0)
f
(x0)
f (n)(x0)
(x0 = Entwicklungspunkt)
f (x0 + h) = f (x0) + f (x0)h +
h2 +
h3 + . . . +
hn + Rn(x0, h)
2
3!
n!
∞
f (n+1)(x0 + θh)
f (n)(x0)
Rn (Lagrange):
Rn(x0, h) =
hn+1, (0 < θ < 1);
lim Rn(x0, h) = 0 =⇒ f (x0 + h) =
hn
(n + 1)!
n→∞
n!
n=0
n
f (k)(0)
f (n+1)(θx)
MacLaurinsche-Form (gilt f¨
ur x0 = 0, h = x): f (x) =
· xk + Rn;
Rn =
· xn+1, (0 < θ < 1);
k!
(n + 1)!
k=0
5.5.1 Einige Reihen S19/427/1045
Rn
cos(ϑx)
sin x = x − x3 + x5
... + (−1)n−1 · x2n−1 + (−1)n ·
· x2n+1
3!
5!
(2n−1)!
(2n + 1)!
ex = 1 + x + x2 + ... + xn +
eϑx
· xn+1
ln(1 + x) = x − x2 + x3
... + (−1)n−1 · xn +
(−1)n
· xn+1
1
2!
n!
(n+1)!
2
3
n
(1+ϑx)n+1
n+1
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5.6 Bernoulli-de l’Hospital S56
f (x)
lim
f1(x)
1
0
±∞
x↓x
= lim
, dies gilt f¨
ur:
“ 1. Regel, oder
“ 2. Regel; Z¨
ahler und Nenner separat ableiten!
0 f
x↓x
2 (x)
0 f (x)
0
±∞
2
”
”
 1∞ 
 e∞·0
1 − 1
0 · ∞ ⇒ f1 = 0 oder f2 = ±∞



f
f
1
2
1
0
1
±∞
∞ − ∞ ⇒
f g :
00
= eg·ln(f) =
e0·−∞
1
f2
f1
f1·f2
 ∞0 
 e0·∞
5.7 Kurvenuntersuchungen S243
1. DefinitionsbereichS48 Df und Absch¨atzung des Wertebereichs Wf
2. SymmetrieS51 und Periodizit¨atS52
3. Nullstellen (x-Achse: y = 0, y-Achse: x = 0)
4. StetigkeitS58f und DifferenzierbarkeitS394 (Berechnung der Ableitungen)
5. Extremwerte, Wendepunkte und Wendetangenten
6. Grenzwertaussagen (Asymptote, Pole, Verhalten von f am Rande des Definitionsbereichs)
5.7.1 Monotonie S403
f (x) ≥ 0 (∀ x ∈ (a, b)) ⇔ ↑ (monoton steigend)
f (x) > 0 (∀ x ∈ (a, b)) ⇒ ⇑ (streng monoton steigend)
f (x) ≤ 0 (∀ x ∈ (a, b)) ⇔ ↓ (monoton fallend)
f (x) < 0 (∀ x ∈ (a, b)) ⇒ ⇓ (streng monoton fallend)
5.7.2 Konvexit¨
at - Kr¨
ummungsverhalten S235f
konvex (linksgekr¨
ummt) ⇔ f ↑ ⇔ f (x) ≥ 0
streng konvex ⇔ f ⇑ ⇐ f (x) > 0
konkav (rechtsgekr¨
ummt) ⇔ f ↓ ⇔ f (x) ≤ 0
streng konkav ⇔ f ⇓ ⇐ f (x) < 0
5.7.3 Extremalstelle S405f
f (x0) = 0, potentieller Kandidat f¨
ur Extremalstelle

f n(x0) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x0
 n gerade
f (x0) = 0, ..., f n−1(x0) = 0, f n(x0) = 0 ⇒
f n(x0) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x0
 n ungerade ⇒ Terassenpunkt bei x0
Zweite Variante
Falls bei f (x) an der Stelle x0 ein Vorzeichenwechsel besteht, existiert dort eine Extremalstelle.
5.7.4 Wendepunkt (Terassenpunkt) S238f
f (x0) = 0, potentieller Kandidat f¨
ur Wendepunkt. Gilt f¨
ur n ≥ 3.
n ungerade ⇒ Wendestelle bei x
f
(x
0 (falls f (x0) = 0 ⇒ Terassenpunkt bei x0)
0) = 0, ..., f n−1(x0) = 0, f n(x0) = 0 ⇒
n gerade ⇒ Flachstelle bei x0
Zweite Variante
Falls bei f (x) an der Stelle x0 ein Vorzeichenwechsel besteht, existiert dort ein Wendepunkt.
5.7.5 Asymptote S241f
F¨
ur Funktionen, die nicht gebrochenrational(siehe auch 4.6, Grenzwerte (S. 5)) sind, kann die Asymptote wie folgt bestimmt werden.
Dies alles gilt sinngem¨
ass auch f¨
ur x → −∞.
Asymptote1 g: y = ax + b ⇒ lim (f (x) − ax − b) = 0
x→∞
a = lim f(x) oder a = lim f (x) 2
x→∞
x
x→∞
b = lim (f (x) − ax)
x→∞
Spezialfall
Wenn lim f (x) existiert, so ist a = 0 und b = lim f (x).
x→∞
x→∞
1 Existiert jedoch nur, wenn alle drei Grenzwerte existieren.
2 Zweite Variante nur m¨oglich, wenn Bedingungen f¨
ur Bernoulli-de l’Hospital erf¨
ullt sind.
F.Braun(f1braun@hsr.ch), L.Schmid(lschmid@hsr.ch), U.Giger(ugiger@hsr.ch), R.Koller(rkoller@hsr.ch)
19. April 2007

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Analysis 1E - Formelsammlung (v1.1)
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6 Integralrechnung S444
6.1 Bestimmtes Integral S457
b
I =
f (x)dx =
lim
S(Z) =
lim
O(Z) =
lim
U (Z)
d(Z)→0
d(Z)→0
d(Z)→0
a
x: Integrationsver¨
anderliche, f: Integranden, [a,b]: Integrationsintervall, a/b: untere bzw. obere Integrationsgrenze
6.2 Integrierbarkeit
6.3 Fl¨
acheninhalt
b
Inhalt der Fl¨
ache unter dem Graphen f : A =
|f (x)|dx
a
6.4 Mittelwertsatz S461
b
b
f auf [a, b] stetig ⇒ mind. eine Stelle ξ ∈ (a, b) mit
f (x)dx = (b − a)f (ξ) ⇒ h =
1
f (x)dx
b−a
a
a
6.5 Integralfunktion
x
c ∈ [a, b] und f (x) ¨
uber [a, b] integrierbar: I : x → I(x) =
f (t)dt
c
6.5.1 Differenzierbarkeit Integralfunktion S459, 460
b(x)
x
d
d
f (t)dt = f (b(x)) · b (x) − f (a(x)) · a (x)
f (t)dt = f (x)
dx
dx
a(x)
0
6.6 Unbestimmtes Integral S444
x → I(x) + C =
f (x)dx
6.7 Stammfunktion S444
Jede auf [a, b] differenzierbare Funktion F nennt man Stammfunktion, wenn F = f .
6.8 Rechenregeln S447
b
b
a
b
0
f (x)dx =
f (x)dx −
f (x)dx =
f (x)dx − (−1) ·
f (x)dx
a
0
0
0
a
F.Braun(f1braun@hsr.ch), L.Schmid(lschmid@hsr.ch), U.Giger(ugiger@hsr.ch), R.Koller(rkoller@hsr.ch)
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  • BeschränktheitS51
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  • Gerade/Ungerade FunktionenS51
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  • Trigonometrische FunktionenS76
  • Potenz- und WurzelfunktionenS8,71
  • Hyperbolische FunktionenS88
  • Logarithmus- und e-FunktionS72
• Zahlenfolgen
  • Einführung:
  • BeschränktheitS51
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  • Grenzwerte von rekursiven Folgen
• Grenzwerte S53
  • Berechnung von Grenzwerten S56
  • Links-/Rechtsseitiger Grenzwert S54
  • Konvergenz, Divergenz
  • Stetigkeit S59
  • Spezielle Grenzwerte S19, 427
  • Asymptotenbestimmung S15
• Differentialrechnung S394
  • Spezielle Ableitungen S396
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  • Differential, Fehlerrechnung S850/968
  • Mittelwertsatz S404
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    • Einige Reihen S19/427/1045
  • Bernoulli-de l'Hospital S56
  • Kurvenuntersuchungen S243
    • Monotonie S403
    • Konvexität - Krümmungsverhalten S235f
    • Extremalstelle S405f
    • Wendepunkt (Terassenpunkt) S238f
    • Asymptote S241f
• Integralrechnung S444
  • Bestimmtes Integral S457
  • Integrierbarkeit
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  • Integralfunktion
    • Differenzierbarkeit Integralfunktion S459, 460
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  • Stammfunktion S444
  • Rechenregeln S447

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