Application des modèles de vie accélérée aux études économétriques : approche fiabiliste

APPLICATION DES MOD`
ELES DE VIE
ACC´
EL´
ER´
EE AUX ´
ETUDES
´
ECONOM´
ETRIQUES :APPROCHE
FIABILISTE
TALABE Sidi et Carlins DIFOU. Tuteur : Mikhail NIKOULINE
15 Mai 2010
1

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Table des mati`eres
1
Introduction
5
2
Le mod`
ele de Cox( mod`
ele PH)
7
3
Mod`
ele standard de vie acc´
el´
er´
ee (AFT)
9
4
Mixed Proportionnel Hazard Model (MPH)
11
4.1
Mod`
ele proportionnel de hasard avec stress inobservables 12
4.2
Mod`
ele combinaison finie de taux de hasard proportionnel 13
4.3
Les mod`
eles de fragilit´
e partag´
ee
. . . . . . . . .
13
4.3.1
Le mod`
ele de fragilit´
e partag´
ee (SF) . . . .
13
4.3.2
Le mod`
ele g´
en´
eral de fragilit´
e partag´
ee (GSF) 14
4.3.3
Le mod`
ele de fragilit´
e autor´
egressive(ARF) .
14
5
Exemples des march´
es financiers
15
5.0.4
Application du mod`
ele de Cox . . . . . . . .
16
5.0.5
Mod`
ele `
a hasard proportionnel h´
et´
erog`
ene en assurance 18
5.0.6
L’exemple des risques de cr´
edits . . . . . . .
19
6
Conclusion
23
2

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Table des mati`
eres
Les approches fiabilistes sont utilis´
ees de plus en plus aujour-
d’hui dans l’analyse de la situation ´
economique et pour faire de
bonnes pr´
edictions , pour ´
evaluer des risques de cr´
edit , li´
es aux
facteurs ´
economiques , politiques et sociaux , qui changent dans le
temps. Dans leurs articles , LANCASTER(1979) , HOROWITZ
(1998) et MOSLER (2002) ont parl´
e de la nouvelle optique de
mod´
elisation des risques de cr´
edits en termes de mod`
eles de dur´
ee
de vie avec des covariantes pour mod´
eliser les facteurs ´
econom´
etriques
, ´
economiques , politiques , etc , qui sont dynamiques dans le temps
et qui effectuent constamment des effets sur la dur´
ee de vie des
firmes , des entreprises , des banques ,etc . Il semble que les mod`
eles
dynamiques de vie acc´
el´
er´
ee et de d´
egradation sont bien adapt´
es
pour ce type de probl`
eme. Le but de ce stage est d’´
etudier plus pro-
fond´
ement la possibilit´
e d’application de nouveaux mod`
eles statis-
tiques `
a l’analyse des donn´
ees r´
eelles que l’on utilise aujourd’hui en
´
econom´
etrie pour ´
etudier les microstructures du march´
e financier
par exemple .
3

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1
Introduction
Les approches fiabilistes jouent un rˆ
ole fondamental en ´
econom´
etrie.
Aujourd’hui , il existe une vingtaine de mod`
eles pour estimer les
facteurs ´
econom´
etriques , ´
economiques , politiques et sociaux. Notre
objectif est de montrer qu’`
a l’aide de mod`
eles bien choisis et pr´
ed´
efinis,
nous pouvons faire des pr´
edictions sur les risques en cr´
edits, `
a l’aide
de covariables 1 appel´
ees ”stress” en fonction du temps. Dans un
premier temps , nous ´
etudierons cinq mod`
eles fondamentaux uti-
lis´
es en ´
econom´
etrie , puis nous illustrerons avec trois situations
concr`
etes : une sur le chˆ
omage ,une autre en assurance et la derni`
ere
sur les cr´
edits.
Econom´
etrie : ´
etudes des relations quantitatives de la vie ´
economique
faisant appel `
a l’analyse de la statistique et `
a la formulation math´
ematique.
1. Les covariables sont des variables explicatives dans un mod`
ele ( dans notre cas
elles expliquent la dur´
ee de vie )
5

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1. Introduction
Pour tous les mod`
eles , les stress sont mod´
elis´
es par un proces-
sus stochastique 2. Dans un premier temps, supposons que toutes
les covariables sont observables .
X(t) = (X1(t), X2(t), ...., Xn(t))T le processus stochastique.
E = E(x(.))
l’ensemble des stress possibles ou admissibles.
x(.) = (x1(.), ..., xn(.)) : [0, ∞] → IRn
La fonction de survie est donn´
ee par Sx(.)(t) = P (T ≥ t|x(u), 0 ≤
u ≤ t) qui est la probabilit´
e de fonctionnalit´
e d’une firme pendant
au moins t unit´
es de temps.
fx(.)(t) = −S
(t) la densit´
e sous x(.).
x(.)
−S
(t)
λ
x(.)
x(.)(t) =
le taux de hasard mais en ´
econom´
etrie et par-
Sx(.)(t)
ticuli`
erement en analyse de cr´
edits ”forward default rate function
”
Λx(.)(t) = −ln(Sx(.)(t)) le taux de hasard cumul´e.
2. D’apr`
es les travaux de Jia Shen et Mikhail Nikouline (Reliability approach in
statistical modelling credit risk).
6

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2
Le mod`ele de Cox( mod`ele PH)
Le mod`
ele de Cox (ou Proportional Hazard ) est le plus popu-
laire , le plus appliqu´
e. Il fut introduit par D.Cox (1972). Sa popu-
larit´
e est bas´
ee sur le fait qu’il existe des proc´
edures simples pour
les estimations semi-param´
etriques. Ces proc´
edures peuvent ˆ
etre
utilis´
ees lorsque la courbe de survie n’a pas une forme sp´
ecifique ,
voir Cox (1975) , Andersen (1991) et Al (1993).
Dans le mod`
ele de Cox , λ est de la forme : λx(.)(t) = r(x(.))λ0(t)
λ0 taux de hasard de base et r une fonction positive qui traduit
l’effet des covariables. Dans ce mod`
ele ,
λ
(t)
H
x1
0 : R(t, x1, x2) =
= r(x1) = const avec r ∈ [0, ∞]
λx (t)
r(x
2
2)
r est souvent param´
etr´
ee de la forme rx(t) = eβT (t)x(t) o`
u β =
(β1, ..., βm)T vecteur de param`etres de r´egression . En d´efinitive
nous avons
λx(.)(t) = eβT (t)x(t)λ0(t).
Le mod`
ele de Cox est donc un mod`
ele semi-param´
etrique avec β et
λ0 suppos´es inconnus et qu’il faudra estimer .
Cependant , ce mod`
ele est inappropri´
e car λx(.)(t) ne d´epend que de
x(t) et pas des valeurs pr´
ec´
edentes. Le mod`
ele est dit sans m´
emoire.
Particuli`
erement en ´
econom´
etrie , nous avons besoin d’un mod`
ele
tenant compte de l’histoire des banques , des firmes , l’environne-
ment ´
etant dynamique.
D’apr`
es des ´
etudes ant´
erieures , le mod`
ele semi-param´
etrique de
Cox est adapt´
e `
a l’analyse de survie. Des exp´
eriences ont montr´
e
7

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2. Le mod`
ele de Cox( mod`
ele PH)
que les valeurs des covariables pour lesquelles on a besoin d’une
estimation, sont dans la mˆ
eme ordre de grandeur que les valeurs
utilis´
ees dans les exp´
erimentations. C’est pourquoi il est pr´
ef´
erable
d’utiliser un mod`
ele simple, plutˆ
ot qu’un mod`
ele exact.
En fiabilit´
e , le choix d’un bon mod`
ele est plus important qu’en
analyse de survie , or le mod`
ele de Cox est inadapt´
e, du fait de
l’absence de m´
emoire.
Il convient de r´
ealiser un test d’ajustement du mod`
ele de Cox ,
`
a l’aide d’une analyse graphique , `
a l’issue de laquelle on accep-
terait ou pas H0 . Si H0 est rejet´ee on devrait utiliser un autre
mod`
ele.
8

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3
Mod`ele standard de vie acc´el´er´ee (AFT)
1
Ce mod`
ele est plus adapt´
e `
a l’´
etude des populations ˆ
ag´
ees. Nous
allons supposer que le taux de hasard `
a n’importe quel moment ne
d´
epend pas uniquement de la valeur de la covariable au moment
donn´
e , mais ´
egalement de la probabilit´
e de survie `
a ce moment.
H0 : λx(.)(t) = g(x(t), Λx(.)(t)).
Sx(.) pour le stress x(.) et correspond `a l’ensemble des effets des
covariables avant t.
Ici , λ est de la forme λx(.)(t) = g(x(t), Λx(.)(t)).
De plus , Sx(t) = S0(r(x(t))). D’apr`es Bagdonavicius et Nikouline
ce mod`
ele est valable si et seulement si g s’´
ecrit g(x, s) = r(x)q(s).
On obtient Sx(t) = S0( t r(x(u))du) avec r(x) = e−βT x d’o`
u on
0
peut ´
ecrire
Sx(t) = S0(e−βT xt).
Le mod`
ele AFT est param´
etrique car S0 est pris dans une classe
de distributions ( Weibull , ...) dont les param`
etres sont `
a estimer,
mais il demeure aussi restrictif que le mod`
ele PH .
1. Cours de MIMSE MSE2316 (M´
ethodes fiabilistes en d´
emographie, assurance et
biologie, M.Nikouline )
9

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