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[MATES] Apuntes de Matrices

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Apuntes de matrices (matemáticas) 2º Bachillerato
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by Santiago Ondo Ndong on November 04th, 2011 at 11:03 am
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Apuntes de temas cortos (hasta antes del s. XIX) de historia de España, de segundo de bachillerato. Basados en lo impartido por María Victoria (profesora del Colegio Everest)

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Tema 1: Matrices
1. Concepto de matriz
Se llama Matriz de Dimensión u Orden “m x n” a un conjunto de números dispuestos en m filas
y n columnas.
Se representan:
A (m x n) = (aij)
ó
A = (aij)(m x n)
-
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los mismos números en los
mismos espacios.
-
El conjunto de todas las matrices del mismo Orden se representa:
M(m x n) ó M(n)
2. Tipos de matrices
2.1 Rectangular: m ? n

2.1.1 M. fila

2.1.2 M. columna

2.1.3 Nula: todos sus elementos son 0. Se representa por O (letra)
2.2 Cuadrada: m = n
- 2.2.A Diagonal principal: conjunto de todos los elementos en que i = j
- 2.2.B Diagonal secundaria: conjunto de todos los elementos en que i + j = n + 1 (donde n es
el orden)

2.2.1 M. triangular: todos los términos por debajo (triangular superior) o por encima
(triangular inferior) de la diagonal, son 0

2.2.2 M. diagonal: todos los elementos no pertenecientes a la D. principal son 0


2.2.2.1 M. escalar: M. diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales



2.2.2.1.1 M. unidad: M. escalar en que los elementos de la diagonal
son 1
3. Operaciones con matrices
Suma y diferencia:
se opera elemento por elemento, que ocupen los mismos lugares
Propiedades: 1.- Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C
2.- Conmutativa A + B = B + A



3.- A + O = A
4.- La matriz –A (cambiando de signo todos los elementos) es la Matriz Opuesta


*: Si dos matrices son de distintas dimensiones, su suma y diferencia no están
definidas.

#: El conjunto de matrices M(m x n) junto a la operación suma, y debido a sus 4
propiedades, forman un Grupo Conmutativo

Multiplicación escalar: se multiplica k por todos los elementos, uno por uno.
Propiedades: 1.- Distributiva (respecto a la suma de matrices) k(A + B) = kA + kB
2.- Distributiva (respecto a la suma de escalares) (k + h)A = kA + hA
3.- Propiedad asociativa mixta k(hA) = (kh)A

4.- 1 · A = A

*: El conjunto de matrices M(m x n) junto con las operaciones suma y producto, y debido
a sus 8 propiedades, tienen estructura de Espacio Vectorial.

Multiplicación de matrices: el producto de una matriz A(m x n) · B(n x q) es otra matriz AB(m x q).
Cada elemento se obtiene multiplicando escalarmente (para más info mirar libro) la fila i de la
primera matriz por la columna j de la segunda.
Propiedades: 1.- Asociativa (aunque parezca que no) A(BC) = (AB)C
2.- La conmutativa no se cumple siempre (cuando se cumple, hablamos de matrices que
conmutan) AB ? BA
3.- An · In = In · An = An *: En las rectangulares, existen dos elementos neutros, uno por la
izquierda (Im) y otro por la derecha (In)
4.- El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices A(B + C) = AB + AC
5.- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar: (k · A) · B = A · (k · B) = k · (A · B)
*: Mirar libro para ver errores frecuentes
Potencias de raíces: (solo pueden efectuarse en Matrices cuadradas)

1.- Matriz cíclica: repite sus potencias gradualmente. PASOS:
Se busca el periodo (número de potencias distintas hasta la primera
repetición). De ahí, dividiendo y tomando el resto, podremos saber cuál es el
exponente equivalente al pedido en el ejercicio.
2.- M. Nilpotente: Una matriz es Nilpotente cuando An = O para algún n € N. El
resultado de una potencia en que el exponente sea mayor que n será siempre O
3.- M. de recurrencia: PASOS:

Se calculan las primeras potencias de A. Se escribe una ley de formación
(ecuación) para la potencia nésima, y se comprueba que la ley se cumple para
n=1 y sustituyendo n por n+1. (MÉTODO DE INDUCCIÓN)

4. Trasposición de matrices
La matriz traspuesta de A, At, es la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas.
4.1 Simétrica: matriz cuadrada tal que aij = aji
4.2 Antisimétrica: matriz cuadrada tal que aij = -aji, y por tanto, en la que la diagonal principal
son todo 0s
*: Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una Simétrica S y otra
antisimétrica H tal que:
S = ½ (A + At)
H = ½ (A – At)
4.3 Ortogonal: matriz cuadrada en la que se cumple el producto A · At = I
4.A
(At)t = A
4.B
(A + B)t = At + Bt
4.C
(A · B)t = Bt · At
4.D
(kA)t = k · At
4.E
(At)n = (An)t
5. Matriz inversa
La matriz inversa de A es A-1 y es tal que A· A-1= A-1 · A = In. Si existe la inversa de una matriz,
ésta se denominará inversible o regular; en caso contrario, singular. El procedimiento para
obtenerlas es mediante un sistema de ecuaciones.
6. Matrices asociadas a un grafo
Grafo:
colección de puntos (vértices o nodos) unidos entre sí por conexiones (aristas o arcos).
Los arcos pueden estar orientados (en una sola dirección) o no (en ambas direcciones). En caso
afirmativo, el grafo se denominará Grafo Dirigido o Digrafo
Un grafo se puede representar mediante una Matriz de adyacencia o incidencia, de la
siguiente manera:
-
Se numeran todos los nodos, y tanto las columnas como filas equivalen al nodo del
mismo número.

-
Las conexiones entre nodos se marcan con el número de conexiones directas que haya
entre ellos (0 si no hay ninguna, 1 si hay una, dos si hay dos…)
-
Si elevamos la matriz a un exponente n, los elementos de la matriz indicarán el
número de conexiones de longitud n nodos que hay entre cada pareja de ellos.



Tema 2: Determinantes
1. Definición
A cada matriz cuadrada se le puede asignar un determinante, único, que será un número real.
2. Determinantes de segundo orden
Se suma la multiplicación de los términos de la diagonal principal por la de la secundaria.
-
Det (O) = 0
-
Det (I) = 1
-
Det (Matriz diagonal o triangular) = Producto de los elementos de la diagonal principal
3. Determinantes de tercer orden
Se hace lo mismo que en las matrices de orden 2, y con el resto de diagonales, se suman las
paralelas a la principal, y se restan las perpendiculares. (Mirar si eso p.35)
4. Propiedades
4.1 A = At
4.2 Si cambiamos entre sí dos filas o dos columnas, el determinante se cambia de signo.
4.3 Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número, el
determinante queda multiplicado por tal.
4.4 Si una matriz tiene una fila o columna con todos los elementos nulos, su det es 0
4.5 Si una matriz tiene dos columnas o filas iguales (u opuestas respecto al signo), su det es 0
4.6 Si dos filas o columnas son proporcionales, su det es 0
4.7 Si una fila o columna es combinación lineal de alguna/s de las restantes paralelas, det = 0
4.8 Si a una matriz se le cambia una fila / columna por una combinación lineal de ésta y otra/s
paralelas, el det no varía
4.9 Si los elementos de una fila o columna se descomponen en dos sumandos cada uno, su
determinante es igual a la suma de de dos determinantes: el primero con el primer sumando
en cada elemento, y el segundo con el segundo sumando, manteniéndose el resto de filas y
columnas intactas.
4.10 Si A y B son del mismo orden… : ?? · ?? = ?? · ??



5. Menor complementaria
Siendo A una matriz cuadrada y aij uno de sus elementos, si en A se suprimen la fila i y la
columna j, se obtiene una matriz cuyo determinante es la menor complementaria Mij .
El adjunto del elemento aij es su menor complementaria precedida de un signo + ó – según que
la suma i+j sea par o impar.
6. Desarrollo de un determinante por los elementos de una
línea
El det de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna
multiplicados por sus adjuntos correspondientes.
7. Cálculo de un determinante por un elemento y su adjunto
Método de Chío: consiste en, a partir de un elemento arbitrario tomado de una matriz, al que
llamaremos pivote, convertir la fila o columna en que este se encuentre, y convertirla en todo
0s (exceptuando el pivote). Esto es posible mediante el intercambio de filas/columnas por
combinaciones lineales. Una vez hecho esto, calculamos el determinante de la matriz como el
producto del pivote por su adjunto.
Método de Gauss: consiste en convertir la matriz original en otra triangular, utilizando la
misma técnica que en el método de Chío. Para calcular el determinante, en este caso solo hay
que multiplicar los elementos de la diagonal principal entre sí.
8. Matriz adjunta
Se llama matriz adjunta de A, adj(A), a la matriz obtenida al sustituir cada elemento por su
adjunto (toda una matada…)
8.1 ?? · ?????? ?? ?? = ?????? ?? ?? · ?? = ?? · ??
8.2 ??????(????) = ???? ???1
8.3 ?????? ?? ?? = ??????(????)
9. Matriz inversa
*: Una matriz es regular si ?? ? 0
*: Una matriz es singular si ?? = 0
La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea inversa es que sea regular.
????1 ?? ? 0
Para calcular la inversa de una matriz: ???1 = ?????? ?? ??
??

9.1 La inversa de una matriz es única
9.2 ???1 = 1
??
9.3 ???1 ?1 = ??
9.4 ?? · ?? ?1 = ???1 · ???1
9.5 ???? ?1 = ???1 ??
10.
Rango de Matrices
Si una o más filas o columnas son linealmente dependientes (combinaciones lineales), su
determinante es 0.
El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. El rango
por columnas es siempre igual que por filas.
Se calcula por el método de los menores (p. 43)

Tema 3: Resolución de Sistemas de
ecuaciones lineales
1. Definición
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se puede escribir:
??11??1 + ??12??2 + ? +??1?????? = ??1
??
21??1 + ??22??2 + ? + ??2?????? = ??2


????1??1 + ????2??2 + ? + ?????? ???? = ????
Siendo aij números reales llamados coeficientes, bm términos independientes, y xn incógnitas
del sistema.
Un sistema se resolverá cuando encontremos todas las soluciones (números s1, s2, etc que
sustituidos en x1, x2,… satisfagan a la vez las m ecuaciones). Discutir un sistema consiste en
hallar el número de soluciones, sin encontrarlas.
1.1 Clasificación por número de soluciones:
1.1.1 Compatibles:
Tienen al menos una solución
1.1.1.1 C. determinadas:
La solución es única
1.1.1.2 C. indeterminadas:
Tienen infinito soluciones
1.1.2 Incompatibles:
No tienen ninguna solución
1.2 Clasificación en función de los términos independientes:
1.2.1 Homogéneo:
Todos sus términos independientes son nulos
1.2.2 No homogéneo:
No todos sus términos independientes son nulos.
2. Expresiones de los sistemas lineales
Notación matricial
Siendo A la matriz de los coeficientes (sus elementos son los coeficientes de un sistema), B la
matriz de los términos independientes y X la matriz de las incógnitas (dispuestas en una
columna):
?? · ?? = ??
Y A* será la Matriz Ampliada, que se obtiene añadiendo a la matriz A la columna B al final.
Notación vectorial (por columnas)
Siendo Cj cada matriz columna formada por todos los términos aij del sistema, se representa de
la siguiente manera:
??1 · ??1 + ??2 · ??2 + ? + ???? · ???? = ??


3. Sistemas de Cramer
Un sistema de Cramer cumple que:
a) El número de ecuaciones es igual al de incógnitas
b) El determinante de la matriz de los coeficientes no es 0
Al resolverlo, de la siguiente manera, obtendremos una única solución:
??, ??
??
2, ??3, … , ????
1 =
??

??
??
1, ??, ??3, … , ????
2 =
??

??
??
1, ??2, ??3, … , ??
?? =
??

4. Teorema de Rouché-Fröbenius
Un sistema será compatible si, y solo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al
rango de la matriz ampliada. Esto permite discutir un sistema.
???? ?? ???????? ????
????????. ????????. ???????? ?? = ????????(???)
Además, un sistema compatible será determinado cuando esta igualdad sea también
igual al número de incógnitas. Será indeterminado cuando sea menor.
El número de ecuaciones válidas para resolver un sistema es igual al rango. Por tanto,
podemos simplificar el sistema eliminando las filas no contenidas en el menor que determina
el rango.
Por último, en un sistema compatible indeterminado, existirán un número de
parámetros (o grados de libertad), que son números reales de los que dependen las
soluciones. Este número es igual al núm de incógnitas menos el rango. Y como
parámetros se toman las columnas no incluidas en el menor que determina el rango.
5. Sistemas homogéneos
Recordemos que son los sistemas en que los términos independientes son 0. Por tanto, el
rango de A y A* es el mismo, y una de sus soluciones va a ser siempre la trivial (todas las
incógnitas = 0). Por tanto, ya tendremos la solución si el sistema es Compatible Determinado,
y en caso contrario, pues actuaríamos de manera habitual.



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