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Université Paris 6 – ENS Cachan
Mastère Mécanique et Ingénierie des Systèmes
Année 2009-2010
Orientation Matériaux et Structures
MSM22 - BE no 3
Calcul de structures à comportement élasto-plastique
–
Projet
1
Plasticité sur une éprouvette entaillée
On considère la structure définie sur la Fig. 1.
l
F
l
L
F
L
FIGURE 1 – Schéma de l’éprouvette entaillée.
Elle est soumise à un effort de traction simple ±F imposé sur ses extrémités ; les autres bords sont libres.
On suppose que le matériau a un comportement élasto-plastique, avec une loi d’écrouissage isotrope linéaire
de la forme R(p) = σ0 + Hp. On prendra par la suite L = 1, 5, ℓ = 0, 5, E = 1, ν = 0.3, σ0 = 0.88E, et
H = 0.05E.
Question 1 : A partir d’un calcul élastique (fichier linel_T), déterminer le chargement critique Fcrit
faisant plastifier le matériau. Discuter de l’influence du maillage utilisé sur la valeur de
Fcrit.
Question 2 : Quelle valeur de Fcrit est-on censé obtenir théoriquement ? Conclure sur les limitations
d’un calcul par la méthode des éléments finis.
Question 3 : A partir d’un même maillage, comparer la valeur de Fcrit calculée à la question 1 avec celle
obtenue avec le code plasT.
Question 4 : Tracer l’allongement de la structure en fonction de la force de traction F , pour un charge-
ment monotone de F = 0 à F = 5Fcrit.
Question 5 : Tracer la carte de déformation cumulée dans la structure à l’instant final. Qu’observe-t-on ?
Question 6 : Déterminer alors la largueur de la zone plastifiée, ainsi que son évolution au cours du char-
gement.
Question 7 : Pour chaque pas de chargement, donner le nombre d’itérations nécessaires pour atteindre la
convergence, ainsi que le temps de calcul. On comparera ces valeurs pour les trois stratégies
de résolution étudiées en BE (méthode de Newton avec matrice tangente cohérente / matrice
tangente à la première itération seulement / matrice de rigidité élastique).
Question 8 : Vérifier numériquement que l’algorithme de Newton tangent permet d’obtenir une conver-
gence quadratique. Quel est l’ordre de convergence observé pour la méthode avec opérateur
constant ?
Question 9 : Refaire la question 4 en prenant H = 0 (plasticité parfaite). Qu’observe-t-on ?
Question 10 : Donner une explication qualitative sur le phénomène observé à la question précédente, et
proposer une modification du code adaptée.

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2
Comparaison de lois d’écrouissage
On s’intéresse dans cette partie à la comparaison de lois d’écrouissage couramment employées pour mo-
déliser le comportement élasto-plastique de matériaux. On mènera l’étude sur l’exemple de la plaque homogène
en déformation plane rappelée sur la Fig. 2 (fichiers strip_plast et RR_VonMises).
2 l
e
e
y
y
e
q(t)
e
z
e
2 h
x
x
e z
2 L
FIGURE 2 – Description du problème sur la plaque homogène en déformation plane.
La loi générale de comportement de Von Mises avec écrouissage est caractérisée par la fonction seuil de
plasticité f (σ, p) = αeq − R(p), avec α = σD − X et ˙
X = 2C ˙ǫp (C étant un coefficient fixé par l’utilisateur).
On peut alors distinguer plusieurs cas particuliers :
– cas 1 : plasticité parfaite (X = 0 et R(p) = σ0) ;
– cas 2 : écrouissage isotrope linéaire (X = 0 et R(p) = σ0 + Hp) ;
– cas 3 : écrouissage cinématique (X = 0 et R(p) = σ0) ;
– cas 4 : écrouissage cinématique et isotrope linéaire (X = 0 et R(p) = σ0 + Hp) ;
On supposera par la suite des conditions initiales nulles.
Question 11 : Pour chacun des quatre cas définis, donner un exemple de matériau vérifiant la loi d’écrouis-
sage associée.
Question 12 : Réécrire l’algorithme du retour radial dans le cas de l’écrouissage cinématique. Quelles sont
les principales différences avec le cas de l’écrouissage isotrope vu dans le BE no 1 ?
Question 13 : Apporter les modifications nécessaires au code de façon à pouvoir simuler les quatre cas
d’écrouissage.
Question 14 : Comparer alors les quatre différentes solutions obtenues pour un trajet de chargement de la
forme (avec q∗ le seuil initial de plastification) :
– chargement linéaire de q = 0 à q = 2q∗ ;
– décharge jusqu’à q = −3q∗ (compression) ;
– recharge jusqu’à q = 0.
Question 15 : A la fin du chargement, quel est l’état du matériau dans chacun des cas ? Est-ce cohérent
avec la théorie ?

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3
Etude de quelques effets numériques
On reprend la structure de la Fig. 2, dans le cas d’un écrouissage isotrope linéaire. L’objectif est d’étudier
quelques particularités numériques qui peuvent apparaître lors de la simulation de problèmes non-linéaires.
3.1
Incompressibilité et verouillage du maillage
Question 16 : Montrer que dans le cadre de l’élasticité linéaire isotrope en HPP, l’incompressibilité est
obtenue lorsque ν = 0, 5.
Question 17 : Réaliser une simulation élastique de la structure, avec ν ≈ 0, 5 et peu d’éléments. Comparer
les cartes de contrainte alors obtenues pour des éléments T3 et T6.
Question 18 : Expliquer qualitativement les phénomènes observés.
Question 19 : Faire un calcul élastoplastique sur la géométrie strip avec une forte élongation. Pourquoi
observe-t-on les mêmes phénomènes ?
Question 20 : En déduire une des limitations de la méthode des éléments finis.
3.2
Schéma en temps explicite
Toutes les études menées jusqu’ici ont utilisé une discrétisation temporelle basée sur un schéma implicite.
On se propose ici d’observer les différences lorsqu’on utilise un schéma explicite, tel que ˙un ≈ (un+1−un)/∆t.
Question 21 : Réécrire l’algorithme du retour radial, pour la structure étudiée, lorsqu’un schéma explicite
est utilisé.
Question 22 : Apporter les modifications nécessaires au code strip_plast pour pouvoir mener une
simulation numérique avec un schéma en temps explicite.
Question 23 : Montrer alors les inconvénients d’un tel schéma, notamment vis-à-vis de la stabilité, en
comparant la solution numérique avec celle donnée par un schéma implicite, pour diffé-
rentes valeurs de ∆t.

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