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Derivabilite et primitives
Dans toute la suite , I designera un intervalle non vide et non reduit a un element.
I) Derivee :
Definition :
Soit f : I /= une application et a 2 I .
On dit que f est derivable en a si la limite :
existe.
Si cette limite existe , elle est unique , on la note
, f '(a) ou Df (a) .
De plus , si f est derivable en tout point de I , on dit qu'elle est derivable sur I .
Note 1 : L'equation de la tangente en un point a 2 I est :
.
Note 2 : La definition de la derivabilite en un point d'une fonction a valeurs complexes
et la meme que celle d'une fonction a valeurs reelles , de plus :

f est derivable en a 5 Re(f) et Im(f) sont derivables en a
Le cas echeant,on aura :
Proposition:
Soit f : I / K une application, et a 2 I .
f est derivable en a 5 d ( e , l ) 2 I # F( I , K ) :

---

Proprietes :
Soient f , g 2 F( I , K ) deux fonctions derivables en un point a de I et soit l
2 I . Alors :
f et g sont continues en a.
1.
f + g , l
2.
f et fg sont derivables en a.
Si g(a)
3.
s 0 , alors :
De plus est definie au voisinage de a et y est derivable .
On a
4.
c n 2 ; : = f*f....*f est derivable en a .
Proposition :
Soit ( f , a ) 2 # I .
f est derivable en a 5 f est derivable a droite et a gauche en a et la derivee a
droite et a gauche sont egales
Derivees successives :
Definition :
Soit f 2 . f est dite de classe si :
f est derivable sur I .
f ' est continue sur I .
Definition :
Soit n 2 ; et f 2 . f est dite de classe sur I si :
f est derivable sur I.
est continue sur I.

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L'ensemble des fonctions de classe sur I a valeurs dans K est note ( I , K ) . Si f
est n-fois derivable pour tout n de ; , on dira qu'elle est de classe
.
Proposition :
Soit ( f , g ) 2 F( I , K ) et l 2 K .
Si f et g sont derivables sur I , alors lf + g est derivable sur I .
Si f et g sont n-fois derivables (respectivement de classe
) sur I , alors lf + g
est n-fois derivable sur I .
De plus :
= l
+
Si f et g sont de classe
sur I, alors
est de classe
sur I .
Theoreme : (Formule de Leibniz) :
Soient f,g : I / K deux appications n(fois derivables sur I . Alors le produit fg est n-
fois derivable sur I , de plus :
=
ou
est la k-eme derivee de f .
Operations sur les fonctions derivables :
Si f et g sont deux fonctions derivables en a ,alors f + g , fg et ( si g(a) s 0 )
le sont aussi . De plus, on a les proprietes suivantes :
(f+g)#(a) = f#(a) + g#(a)
(fg)#(a) = f#(a)g(a) + f(a)g#(a)
=

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Composition de fonctions :
Theoreme :
Soit f : I / = , g : J / K et a 2 Iavec f(I) 3 J .
Si f est derivable en a et g est derivable en f(a) , alors gof est derivable en a , de
plus :
(gof)#(a) = f#(a)xg#(f(a))
Si f est n-fois derivable (respectivement de classe ) sur I et g est n-fois
derivable (respectivement de classe ) sur J , alors gof est n-fois derivable (
respectivement de classe ) sur I .
Le meme resultat est valable pour f , g de classe
.
Resultat : Soit f : I / =- et a 2 I .
Si f est derivable en a et f(a) s 0 , alors est derivable en a , de plus :
Theoreme :
Soit f : I / J une bijection derivable en un point a de I , et f#(a) s 0 . Alors est
derivable en b = f(a) . De plus :
(b) =
=
Theoreme : ( Diffeomorphisme) :
Si f : I / = est continue et strictement monotone sur I , alors f : I / J = f(I)
est bijective , de plus est continue sur I .

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Theoreme :
Soit f : I / = une application f(I) = J . Si :
f est strictement monotone sur I .
f est derivable sur I .
Alors f : I / J est bijective et sa bijection reciproque f est derivable sur J de
derivee :
Si de plus f est de classe , alors est de classe . On dit que f est un -
diffeomorphisme.
2) Fonction derivable sur un intervalle :
Si f admet un extremum local en a et si elle est derivable, alors f#(a) = 0 .
Theoreme de Rolle :
Soit f : [a,b] / = une application telle que a < b . Si :
f est continue sur [a,b]
f est derivable sur ]a,b[
f(a) = f(b)
Alors :
Egalite des accroissements finis :
Soit f une fonction continue sur [a,b] , derivable sur ]a,b[ . Alors :

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Cette egalite ainsi que le theoreme de Rolle ne sont valables que pour les fonctions
de = vers = .
Inegalite des accroissements finis :
Soit f une fonction continue sur [a,b] , derivable sur ]a,b[ . Si dm,M 2 = : m % f#
% M alors :
m(b-a)%f(b)-f(a)%M(b-a)
En particulier, si % M alors :
Limite (ou prolongement) de la derivee :
Si :
f est continue sur [a,b]
f est derivable sur ]a,b[
f# admet une limite finie l en a
Alors f est derivable a droite en a et :
f#d(a) = l
Il se peut que f'd(a) existe sans que f' ait une limite en a .
Croissance et decroissance :
Theoreme :
Soit f : I / = une application derivable sur I
Si c x 2 I , f#(x) = 0 alors f est constante sur I .
Si c x 2 I , f'(x) P 0 alors f est croissante sur I .
Si c x 2 I , f#(x) > 0 alors f est strictement croissante sur I .
Les memes definitions sont valables pour la decroissance et la stricte decroissance,il

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suffit d'inverser les " P " et " >" dans les inegalites.
Le dernier resultat reste valable si f' ne s'annule qu'en des points distincts de I (leur
ensemble ne contient pas d'intervalle).
Conditon d'extremum local :
Si f,f# et f## sont continues sur ]a,b[ et si d a 2 ]a,b[ : f#(a) = 0 et f##(a) s 0 ,
alors f admet un extremum local en a .
a est un maximum si f##(a) < 0 , sinon si f##(a) > 0 alors a est un minimum .
3) Convexite :
Definition :
Une partie du plan est dite convexe , si des qu'elle contient deux points M,N ,elle
contient le segment [MN].
Une fonction f definie sur I est dite convexe sur I si la partie du plan situee au-
dessus de sa courbe , qu'on appelle epigraphe , est convexe.Mathematiquement cela
se traduit par :
f est dite concave si -f est convexe .
Theoreme :
Soit f : I / = une application deux fois derivables . On a :
f est convexe 5 f## est positive 5 f' est croissante
La courbe de toute fonction convexe derivable est situee au-dessus de ses tangentes
.
Inegalite de Jensen ( ou de convexite ) :

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Soient f : I / = une fonction convexe sur I et , , ... , des reels positifs tels
que :
= 1 , alors :
f

f( )
Monotonie de la pente :
Soit f : [a,b] / = une application et a 2 ]a,b[ .
Si f est convexe alors :
(x) =
est croissante .
4) Integrales et primitives :
Definition :
On dit qu'une fonction f definie sur un intervalle I admet une primitive s'il existe une
application F definie sur I derivable telle que F # = f .
Si F et G sont deux primitives de f , alors d c 2 K , c x 2 I : F(x) = G(x) + c .
Theoreme :
Toute application f definie et continue sur un intervalle I admet une primitive .
Notation : Soient f : I / K une application , F une primitive de f et (a,b) 2 . La
quantite F(b)-F(a) est notee
et se lit : "L'integrale de a a b de f " .

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Cette quantite est independante de la primitive de f suivant laquelle on l'a calculee .
Proprietes :
Soient f,g deux fonctions definies et continues sur [a,b] avec a % b . On a les
resultats suivants :
= l
+
f P 0 0
P 0
f P g 0
P
%
Si d K 2
tel que : c x 2 [a,b] :
% K , alors :

% K
Si : d m,M 2 = tels que : c x 2 [a,b] : m % f(x) % M alors :
m(b-a) %
% M(b-a)
Relation de Chasles :
Soient f,g 2 C(I,K) et soient a,b,c 2 I . Alors :
=
+

Theoreme :
Soit f : I / K une application continue et a 2 I . L'unique primitive de f qui s'annule
en a est :
x 1

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Une consequence directe de ce theoreme est que si f : I / K est une application de
classe et a 2 I , alors :
f(x) = f(a) +
Theoreme (Integration par parties) :
Soient u,v : I / K deux applications de classe alors :
= u(b)v(b) - u(a)v(a) -
Theoreme (changement de variable) :
Soit f : I / K une application continue et : 4 : J / I une application de classe .
Alors :
=
Proprietes :
Soit f : I / = une application continue . On a les proprietes suivantes :
Si f est paire , alors : c a 2 I :
= 2
Si f est impaire , alors :
= 0
Si f est T-periodique , alors : c a 2 I :
=
= 0
Theoreme :

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