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ELECTROMAGNETISME

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Electromagnétisme début de cour

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R E V I S I O N






D ’ E L E C T R O M A G N E T I S M E
LA DIVERGENCE
RAPPEL MATHEMATIQUE
Soit un champ vecteur
Dans le système cartésien (o, )
LE GRADIENT ET NABLA
:
On a =
Soit une fonction scalaire f(M)






Dans le système cartésien (o, )



on a f(M)=f(x,y,z)
Dans le système cylindro-polaire (o,

)










On a =




Dans le système cylindro-polaire (o,





)






on a f(M)=f( )
Dans le système sphérique (o, )

















On a =
Dans le système sphérique (o,

)






on a f(M)=f( )

























Ous
Théorème de divergence ou théorème
N.B : soit une surface définit par la fonction f
d’Ostragradski ;
s
a
m
Exemple :
a B


en
C’est une sphère de centre o et de rayon R
A
laya
Soit encore
Ed
Ax+by+cy=d
i
ti
o

n
C’est un plan du vecteur normal (a,b,c) .
ob
aedti
LE ROTATIONNEL
Le gradient de f est toujours orthogonal à la surface
donnée par f est alors l’opérateur gradient nous
on.b
Soit un champ vecteur
permet de déterminer tout les vecteurs normaux à
l
og
une surface en n’importe quel point.
s
pot.
Dans le système cartésien (o, )
À retenir
c
o
On a =
m












Pour calculer le gradient d’une fonction qui dépend




de deux points il suffit de fixer une et appliquer la




formule sachant que :















1

Dans le système cylindro-polaire (o,






)











On a =
Dans le système sphérique (o,

)













on a f(M)=f( )


















Dans le système sphérique (o,






)






On a =












LPALACIEN VECTORIEL










Soit un champ vecteur




Pour tout les systèmes




Représentation matricielle ;
On a pour =





















FORMULES UTILES


















Théorème du rotationnel ou bien de Stokes



Ous




s
a
m
a B








en
A



laya


Ed



i
LAPLACIEN SCALAIRE ET LPALACIEN
ti
o
n
VECTORIEL


ob
aedti
LPALACIEN SCALAIRE
RAPPEL ET COMPLEMENT
on.b
D’ELECTROSTATIQUE
Soit une fonction scalaire f(M)
l
og
s
Les équations qui traduisent les propriétés du
pot.
Dans le système cartésien (o, )
champ ;
c
o
on a f(M)=f(x,y,z)
m


et














Ce sont les équations de l’électrostatique sous
forme intégrale pour obtenir ceux du forme locale
Dans le système cylindro-polaire (o,

)
il suffit d’utiliser le théorème de stokes et du
on a f(M)=f( )
Ostragradski on aura

2




Remarque ;






Présente une continuité


Tandis que

en norme est une fonction

discontinue




Ces deux conclusion se traduisent par ;









Finalement , on aura les deux équations locales qui

Finalement l’équation du poisson n’est correcte que
traduisent les postulats de l’électrostatique qui sont
si on ajoute la condition limite .On aura donc ;
en ajoutant la loi du Coulomb ;

; et





En combinant les deux dernières équations, nous






obtiendrons la fameuse équation du poisson-

Laplace ;
DEVELOPPEMENT MULTIPOLAIRE DU



POTENTIEL V(M) ET DU CHAMP


Considérons une distribution discrète de (n) charge
Nous pouvons ainsi montrer que

x M


x q1(P1)






x q2(P2)


x qi(Pi)




x O
LE THEOREME D’UNICITE

Ous
M est positionné à une distance importante des
Un champ vectoriel est parfaitement défini
s
charges.
d’une manière unique si l’on connait ;
a
m
a B
On a

pour n’importe quel point de
en
l’espace
A


laya



 pour n’importe quel point de







l’espace



Ed


 Une condition aux limites ou équation de
i
ti
Après un développement limité en utilisant la
continuité
o
n
ob
formule suivante


Appliquant ce théorème sur le champ
aedti
nous obtenons ;
on.b
Pour on connait ;

x q1(P1)

l
og

x q

1(P1)
s
pot.














c



o





m









Avec est le vecteur normal à




3





















































Nous avons












D’où











=





















DISTRIBUTION MONO-POLAIRE
Alors




















Par rapport à l’observateur au point M toutes les

charges paraient concentrées à l’origine (o) .





DISTRIBUTION DIPOLAIRE
DISTRIBUTION QUADRA-POLAIRE
On parle d’une distribution dipolaire si

On parle d’une distribution quadra-polaire si ;













Ous

Avec
, c’est le moment dipolaire
s
qui caractérise le dipôle
a
m
Et
a B
EXEMPLE

en


A


Dipôle élémentaire –
laya

Soit (o) un point d’origine avec o=A*B comme
Ed






représenter ci-dessous ;
i
ti


o

x M
n

ob

aedti
EXEMPLE


Soit la distribution de charge représentée ci-
on.b


dessous ;
x +q
-q x
o
x
l
A
B
og
x M

s






pot.











c







o
m



-2q


+q x

x
x +q
o


A
B



On a

4


RAPPEL ET COMPLEMENT DU

MAGNETOSTATIQUE


Les équations qui traduisent les propriétés du

champ ;





et

Il s’agit donc d’une distribution quadra-polaire
Ce sont les équations du magnétostatique sous




forme intégrale pour obtenir ceux du forme locale il





suffit d’utiliser le théorème de stokes et du

Ostragradski on aura
















D’où

Or on a






Remarque : contrairement à axiale est polaire.

Donc






Si est une solution alors est aussi
une solution pour un donné il existe une infinité
Finalement
de solution.









D’où
Alors


Si la distribution de I est surfacique ou bien linéique



=>




Ous
Finalement , on aura les deux équations locales qui



traduisent les postulats de la magnétostatique qui

s
a
m
sont les suivants ;

a B
en

et


A
laya
En combinant les deux dernières équations, nous
Nous avons


Ed
obtiendrons la fameuse équation du poisson-
i
Laplace ;
D’où
ti
o
n
ob



aedti









Nous pouvons ainsi montrer que

on.b










l
og



s
Alors
pot.

c




o
m






C’est la loi de Biot-Savart


Ces deux expressions se transposent dans le cas des

distributions linéique et surfacique en écrivant ;






5



LE THEOREME D’UNICITE
DEVELOPPEMENT MULTIPOLAIRE DU
POTENTIEL V(M) ET DU CHAMP

Un champ vectoriel est parfaitement défini
d’une manière unique si l’on connait ;
Considérons un ensemble de (n) circuits électrique
comme le présente le figure ci-dessous

pour n’importe quel point de
l’espace

 pour n’importe quel point de

x M
l’espace
x I1(P1)
 Une condition aux limites ou équation de

continuité
x I2(P2)

x Ii(Pi)
Appliquant ce théorème sur le champ

Pour on connait ;
x O


M est positionné à une distance importante des


circuits .


On a














Avec




est le vecteur normal à






Remarque ;
Après un développement limité en utilisant la

formule suivante




nous obtenons ;
Présente une continuité
Tandis que

en norme est une fonction
Ous

discontinue

s

x q1(P1)
Ces deux conclusion se traduisent par ;
a
m





a B















en







A
Finalement l’équation du poisson n’est correcte que
laya


si on ajoute la condition limite .On aura donc ;







Ed







i


ti


o



n


ob








aedti


on.b

l

og


s






pot.














c
o






m




















6

TERME MON-POLAIRE
Où est le potentiel du dipôle
magnétostatique







ANALOGIE ENTRE LE DIPOLE
ELECTROSTATIQUE ET LE DIPOLE
Les charges magnétiques n’existe pas
MAGNETOSTATIQUE
Le premier terme non nul est le terme dipolaire.
DIPOLE
DIPOLE MAGNETIQUE
ELECTROSTATIQUE
TERME DIPOLAIRE













En utilisant la formule de Kelvin qui dit




nous aurons ;




























Soit








c’est le moment dipolaire de
)
la distribution magnétique



Soit encore



































EN CONCLUSION





une distribution dipolaire est caractérisée par son
Ous


moment magnétique

s



a
m
Equilibre du dipôle ;
Equilibre du dipôle ;
un dipôle magnétique est une boucle de courant du
a B
 Le dipôle en
 Le dipôle en
dimension négligeable devant sa distance à
en
équilibre stable si
équilibre stable si
l’observateur
A
laya
sont en même

sont en même
N.B : soit une boucle de courant C parcourut par un
sens ( sens
Ed
courant I de dimension très faible par rapport à OM
 Si non il est en
(
i
ti
.On aura ;
est équilibre instable
Si non il est en est
o
n
équilibre instable
ob





aedti







on.b
Avec


l

og
Dans ces conditions la boucle C est équivalente à un
s
pot.

dipôle magnétique.
c
o
m

On montre dans ces conditions pour le cas d’un

dipôle magnétique que









)



7

EQUATIONS DE MAXWELL


est homogéne à une densité de courant

Comparaison entre le régime variable et le régime
qu’on la note appelée densité du courant de
statique ;
déplacement ou bien densité du courant de
Maxwell d’où
REGIME STATIQUE
REGIME VARIABLE
(
(
LOIS DE CONSERVATION DE LA CHARGE




La charge électrique se conserve dans le temps :







Cette équation traduit le
C’est une équation qui traduit la loi locale de la


phénomène d’induction
conservation de la charge
est un champ à
C’est l’équation de
circulation conservative
Maxwell-Faraday
En régime permanant

qui traduit qu’une

variation de
dans

est un champ à flux conservatif
le temps induit un
champ électrique
C’est la loi des nœuds (Nous avons autant de

et vice-versa
courant entrant que de courant sortant)



La loi de nœuds reste valable en régime sinusoïdale
Le flux de est
Le flux de est
lentement variable.
conservatif
conservatif, il ne
dépend que du circuit
montrer expérimentalement
CONCLUSION
montrer expérimentalement



Les
champs
électrique
et
magnétique

s’entretiennent mutuellement et constituent une
Théorème de Gauss

entité autonome cette entretien fait que le champ

sous forme locale

électromagnétique peut se déplacer jusqu’à l’infinie

C’est l’équation de
Théorème de Gauss
Maxwell-Gauss
sans support matériel
sous forme locale
Maxwell suppose que le
Ous


théorème de Gauss
reste valable au régime
s
a
m

variable
a B

en





A
laya




Ed




i
ti
o


n





ob



aedti
Théorème d’Ampère
C’est l’équation de

sous forme locale
Maxwell-Ampère
on.b

qui traduit qu’une
variation de dans
l
og

le temps produit un
s
pot.
champ
au meme

c
titre d’un courant
o
m









8

EQUATIONS DES POTENTIELS

Pour

Avec la jauge (couple) associée à

telque ;
















D’après le théorème d’énergie cinétique on a





















; c’est la condition choisie par



Lorentz
C’est une puissance absorbée par la particule (Pa)
SOLUTIONS DES POTENTIELS RETARDES
ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE


C’est facile de montrer que































Ous






s


a





Ce sont les potentiels retardés d’un retard égale à
m






a B
. D’autres solutions semblent

en
Avec
mathématiquement possible mais physiquement
A
impossible on parle du potentiel avancé ce qui est
laya

non acceptable d’après le principe de causalité (la


Ed

cause précède l’effet)


i
ti
o
Est le flux sortant de qui limite le système
Ces expression de se transposent dans le cas
n
ob
(charge + champ électromagnétique)
des distributions linéiques et surfaciques.
aedti
Supposons que ce flux est nul par isolation du
on.b
ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE
système ce qui n’est pas physiquement réelle. On
aura ;
l
og
s
TRAVAIL DE LA FORCE DE LORENTZ
pot.



c

o



m












Cette force développe un travail pendant












9

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