Exam Linear Algebra

טנדוטס רפסמ



------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2011 ר
אורבפ –

ע
"
א שת –
ף
רוח רטסמס א
-
הרבגלאב ןחבמ


ת
. ועש שולש ןחבמה ךש
מ *

.תולאשה לכ לע תונעל שי *

.העיפומ איה וב דומעב הלאש לכ לע ת
ונעל שי *
ןכ ומכ ק
. יפסי אל םוקמהש הרקמל הניחבה ףוסב קיר ףד םכתושרל *
.ךרוצ היהי ם
א תומ
ו ל
מ ש
ל ה
ש ניחב תורבחמ קדהל ולכו
ת

ם
. ידדוב םיפד רבחל ןי
א
ן
.
ורפיעב אלו טעב שמתשהל שי *

ב
. שחת אל תקמונמ אל הבושת .הבושת לכ קמנל שי *
.
ס
( יכ יבשחמ ללוכ ר
)
זע רמוחב שמתשהל ןי
א *
.
'

3

ב
הלאש איה תיבה ירועש תלאש *

יטוטיצו םילוקיש תרדס ידי לע הנקסמל עיגהלו ןותנהמ ליחתהל שי ,החכוהל םישרדנ םתא רשאכ
ןותנהמ ליבומ וניאש החכוהה אשונל תורושקה תודבוע לש ףסוא ם
. יכמתסמ םתא םהילע תואצותה



ה
. בושתכ לבקתי אל הנקסמל


ה
חלצהב

---

1 רפסמ הלאש
3 2
2 2
י
: די לע תרדגומה תיראניל היצמרופסנרט T :
×
×
R
→ R אהת
a b

  c + d
−a + 2b 
T c d =



 

a − 2b
2c + 2d − 3f

 

e
f


.
T לש יערגל סיסב אצ
מ .א


T
. לש הנומתל סיסב אצ
מ .ב
?תוירטמיסיטנא תוכיפה תוצירטמ T לש הנומתב שי א
ה .ג
ה
. לש תורוקמ
ה ל
כ תצובק תא אוצמלו וזכ הצירטמ גיצהל שי תיבויח הבושתה כתעדל א
. יאש חיכוהל שי תי
, לילש הבושתה כתעדל א
אל ירחאה סיסבה ירביאב
ו ,
T לש יערגב ויהי ינושארה סיסבה ירביא תשולשש כ
ל סיסב ואצ
מ .ד
ס
. פא רפסמה עיפוי
.תודוקנ 24
: ורתפ
.טרפל שי חבמב .תויפוס תובושת קר הפ ונתניי ינושאר
ה יפיעסה ינש
ב
•


2 1
:
T לש יערגל סיס
ב .א
0 0
0 0 , 0 0
1 1
0 0 , 0 0
0 0
1 0


1 0
:
T לש הנומתל סיס
ב .ב

0 0 , 0 1
1 0 , 0 0
0 1
ה
: רוצהמ הצירטמ לכ כל
ו
ה
: רוצהמ אוה
T לש הנומתב יללכ רבי
א .ג

.הכיפה תירטמיס יטנא אי
ה 0

0 y 0
:הרוצהמ תואוושמ תכרעמ רותפל שי הנומתב הצירטמ לש תורוקמה לכ תא אוצמל תנמ לע


2



2 2 2 3
0 y
y 0

בכרומ תינגומוה יא תואוושמ תכרעמ לש יללכ ור "
תפ עודיכ ת
. ינגומוה יא תואוושמ תכרעמ צעב וזש
לש יללכ ור "
תפ רשאכ –
"המיאתמה תינגומוהה לש יללכ ור
תפ
+ הנותנה תכרעמ
ה לש יטרפ ורתפמ
ס
. פא תנומתש תוצירטמה לכ ולא יכ , יערגה צעב אוה "המיאתמה תינגומוה
ה

---

, 0 1 ל
: שמל ,הנומתהמ תיפיצפס הכיפה תירטמיס יטנא הצירטמ רחבנ , כל
1 0

0 1 ה:לש דחא רוקמ שחנל לק
T 1 1
0 0
0 0
1 0

0 1 ל:ש תורוקמה לכ תצוב
ק : כלו
1 0

0 0
0 0 1 1 א:יה
2 1
0 0
0 0
1 1
0 0
0 0
1 0 0 0
0 0
.הפ טטוצש טפשמב שמתשהל ילבמ תורישי תכרעמה תא רותפל טושפ ג בומכ רשפא ה
: רעה

יספא הב ויהי אלש כ המלשהה ת
א "לקלקל" זאו ,ולוכ בחרמה לש סיסבל יערגה לש סיסבה תא ילשהל ש
י .ד
תולועפ עוצי
ב ,עודיכ יכ סיסבה ירבא יב תויראניל תולועפ עוציב "
י ע המלשהה ת
א "לקל "
ק ל רשפ
א ל
. לכ
ב
. די לע שרפנה בחרמה תא תונשמ אל הנותנ ירוטקו תצובק לע תויראניל
( מצע ירוטקול וקמב ירוטקוה לש תוטאנידרואוקה ירוטקול סחייתהל תינש בומכ
)
"
י ע ילשנו יערגה סיסב לש תוטאנידרואוקה ירוטקו תא הצירטמה לש תונושארה תורושה שולשב ישנ "
א
:

ז
ירוטקו "
י ע ונמלשהש יעדוי ונא כו –
ה
( מיאתמ תורוש תפלחה רחאל
) תגרודמ הצירטמ תורצויש תורו
ש
ל
: שמל .גוריד תולועפ "
י ע יספאה ת
א "לקלקנ"ו "
ל תב

 2 1 0
0
0
0
2 1 0
0
0
0




0 0 1 −1 0 0
0 0 1 −1 0 0




 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
→ K

→ 

0 1 0
0
0
0
2 2 1 −1 1 1




0 0 0
1
0
0
2 1 2 −1 1 1




0 0 0
0
0
1
2 1 1 −1 1 1

!
( ושענש גורידה תולועפ תא טרפל שי חבמב
* )


2 2
א
: יה תחא תירשפא המלש
ה , כלו
1 1
1 1 , 2 1
2 1
1 1 , 2 1
1 1
1 1

---

.

2 רפסמ הלאש
 0
1
−
0
0 


1
0
0
0
A


.
=
: יבכורמה לעמ הצירטמ ינפל
 0 0
0
1 


0
0
1
−
0


?
A לש ינייפאה ונילופה והמ .
א
.ולש ימצעה בחרמל סיסב אצמ A
, לש ימצע רע לכ רובע .
ב
:
ויוושה ייקתמש כ , D תינוסכלא הצירטמ
ו P הכיפה הצירטמ ואצמ ,הניסכל A
כתעדל

א .ג
.עודמ וריבס
ה ,הניסכל הני
א A כתעדל א . P− A
1

P = D
ק
! מ
נ ?

A

ל המו
ד
0 ש: כ3×3 רדסמ B תישמ מהצירטמ תמייק אה. ד
0
תודוקנ 21
: ורתפ
א
: יעס
 0
1
−
0
0 


1
0
0
0
A 

=
: וסכלאב ייעוביר יקולב ינשל הנותנה הצירטמה תא קלחל רשפא
 0 0
0
1 


0
0
1
−
0


.
: וסכלאב יקולבה תלפכמ "
י פע "
א פה תא בשחל תינ זאו
1
1 .(וסכלאהמ תדרוה "יע תורישי בשחל ג רשפ )א
λ

ב
: יעס

: הו "
א פה ישרוש ה ע"עה
,
:(A-iI)x = 0
ת
: ואוושמה תכרעמ ורתפ "
י ע
i
לש ע"ו בשחנ
 − i −1 0
0
0
1 − i 0 0 0




 1
− i
0
0
0
0
0
1
i
0

→ K →





0
0
− i
1
0
0
0
0
0
0








 0
0
−1 − i 0
0
0
0
0
0

ו
: יהי "
ל תב "
ע ו ינש כל
ו
תכ
: רעמל יללכ ורתפ
,1,0,0 , 0,0, ,1
, , ,
. ע
: "ו ע "
ע ע ג ז
א "
ע ו ע תישממ

A

לש "
ע

λ

ע

א ט
: פשמב שמתשנ –
i לש "
ע וה בושיח רוצל

ו
: יהי –
i לש "
ע ו כלו
,1,0,0 , 0,0, ,1 .תו(רישי בשחל ג רשפ )א

---

ג
: יעס

, תודומעב ע"והמ תבכרומ תנסכלמ
ה P רשאכ הניסכל
A ז
א =
2 ג"
"
א
=
ר
ר "
ע ע לכלש ונלביקש וויכמ
ה
: מאתהב וסכלאב "
ע עהמ תינוסכלא
ה

D ו
 i
0
− i 0
 i 0
0
0 




1
0
1
0
0 i
0
0 
P =
D =




0
− i
0
i
0
0
− i
0








0
1
0
1
0 0
0
− i

ד
: יעס
ל
. "נכ
B תמייק אל
. ע
"
ע תוא שי תומוד תוצירטמל
תי
( נוסכלא יקולב תצירטמ וז גש וויכמ) .
B לש "
ע עה
ו
i :

ה
0 ה:צירטמה לש "עעה
0
. יישממ ימדקמ ע
3
הלעממ ונילופ אוה הלש "
א פה כלו תישממ הצירטמ אי
ה
B לבא
ימדקמ ע ונילופל כל
ו ,שרו
ש ג זא יישממ ימדקמ ע ונילופ לש שרו
ש
z אש אוה עודי טפשמ
ב
י כורמ תשולש ויהי
B לש "
ע עהש כתי א
ל : "
א
ז ת
, וחפל דחא ישממ שרוש שי תיגוז יא הלעממ יישממ
ש
. רדנכ
הווש תויהל הכיר
צ

+
i

B לש הבקעה כל ,ההז הבקע שי תומוד תוצירטמלש טפשמב שמתשהל איה תרחא תורשפא
.תישממ
B א כתי אל הז
ו -
i תו
: יהל הכירצ
B לש הבקעהש "
א ז ,ספאל

---

3 רפסמ הלאש
1
 
, ורתפ י
א Ax = 1 תכרעמל : ותנ
. mx
n רדסמ תישממ הצירטמ A
אהת .

א
 
 
1
 
 0
 
. r(A)
ו
n
,

m רובע תויורשפאה לכ תא ואצמ .דיחי ורתפ ש
י Ax = 1 תכרעמלו
 
 
0
 
: רפה וא חכו
ה תו
. יראיניל תוקתעה י

תש T , S :V → V הנייהת . ב

ו
א
ז
א
א
K
K
Im
0
.
ש
: כ ישממ רפסמ
k אהי
ו
n רדסמ תישממ תיעוביר הצירטמ אה
ת .ג
|A| k


k
. תרזע
ב
תא ואטב
|
| .תודוקנ 26
: ורתפ
א
: יעס
 0
 
.
: ייקתהל ביי
ח ,רדגומ היה
י Ax = 1 לפכהש יד
כ .1
3
 
 
0
 
.
: ייקתהל ביי
ח דיחי ורתפ היהי "
ל נה תכרעמלש יד
כ .2
0
: כל
ו
: ייקתמ דימ
ת .3
1
 

: ייקתהל בייח ורתפ היהי אל Ax = 1 תכ
: רעמלש יד
כ .4
3
 
 
1
 

תו
: אבה תויורשפאה תא לבקנ כל
,
,
ב
: יעס
.ספאה תקתעה איה ST הקתעהש ותנ ה
. נוכנ אל הנעטה
A
. B =
0 : ותנש לבקנ ז
א
T לשו S לש תוגציימה תוצירטמל סחייתנ א
0 1
ל
:
שמל תא
:

ז תומייקמש ספאמ תונוש תוצירטמ יתש חקינ
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0
ל
: "טל תו
א " גר "
תנ

תו
: רדגו
מ

T x,y S x,y y,0
T S:

: ייקתמ
,
,
,0 0,0
.
ל
: בא
,0 ג: יעס

: ייקתמ
ר
ובע
ש עודי
|
| | |

: כל
|
| | |
| |

---

. 4
ר
פסמ הלאש
ר
: מואה טפשמה תא וחיכוה .
V ירוטקו בחרמ לש יבחרמ תת ינ
ש

W ו U
ויהי
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) − dim(U ∩ W)
תודוקנ 13
.
4 ורתפ
U
.
∩W
B
ל
:
סיס
ב
= {v ,v ,...,vk} יהי
1
2
{v

, v ,...,v u
u
k ,
,..., n} :
ל

U ש סיסבל

B
תא ילשנ
1
2
1
{v

, v ,...,v w
w
k ,
,..., m} :
ל

W ש סיסבל

B
תא ילשנ
1
2
1
ס
" יסבל המלשהל תנתינ ל"תב הצוב
ק לכ" ט
: פשמה יפל תאז תושעל תי
נ
•

.U+
W ל
: סיסב {v

, v ,..., v u
u
w
w
k ,
,..., n ,
,..., m} ה
: נעט
1
2
1
1

ה
: נעטה תחכוה
תש
:
רופ הצובק וזש חיכונ .א
.
W ב רביא ע U מ
רביא לש וכסכ ושרל רשפ
א U+
W ב רבי
א ל
כ



.

U לש סיסבה ירבא לש יראיניל וריצכ ושרל רשפ
א

U ב רביא לכ
.
W לש סיסבה ירבא לש יראיניל וריצכ ושרל רשפ
א
ב

W רביא לכו
U
. +W ל
תשרופ הצובק הווהמ
W לש
ו

U לש סיסב
ה ירבא ת
א הליכמה הצובקה כל
ל
: "תב הש חיכונ .ב
:ש כ α ,...,α , β ,..., β ,δ ,...,δ
1
k
1
n
1
m :
ירלקס ימייק
ש חינ
נ

α v + α v + ... + α v
β u
β u
δ w
δ w
k
k +
+ ... + n n +
+ ... + m m = 0 (*)
1 1
2
2
1 1
1
1
ל
:
בקנו גא ריבע
נ . יספאתמ ירלקסה לכש חיכונ
ו
α v + α v + ... + α v + β u + ... + β u = −δ w − ... − δ w
1
1
2
2
k
k
1
1
n
n
1
1
m
m
יפגאה ינשב ראותמה רוטקוו
ה , ויווש שיש וויכ
מ .
ל

U ייש לאמ
ש גא
ו

W ל ייש האוושמה לש ימי גא
ש
: כ µ ,..., µ
1
k :
ירלק
ס ימייק "
א
ז , הינב ותיחל "
א
ז
ל

W ג
ו

U ל ג ייש
− δ w − ... − δ w
µ v
µ v
µ v
m
m =
+
+ ... +
1
1
1 1
2
2
k
k

⇓
µ v + µ v + ... + µ v δ w
δ w
k
+
+ ... + m m = 0
1 1
2
2
1
1
µ = ... = µ
δ
δ
k
=
= ... = m = 0 : כל סיסב ירבא ל
ש ספאתמש יראיניל וריצ הז לבא
1
1
ש
: כ χ ,..., χ
1
k :
ירלקס ימייק ה
: אוושמה לש ינש
ה ד
צה יבגל ל"נכ
α v + α v + ... + α v + β u + ... + β u = χ v + ... + χ v
1 1
2
2
k
k
1 1
n
n
1
1
1
k
k
(α − χ )v + ... + (α
χ v
β u
β u
k −
k )
k +
+ ... + n n = 0 ל
:
בקנו גא ריבענ
1
1
1
1 1
: כל סיסב ירבא לש ספאתמש יראיניל וריצ הז לב
א



α − χ = ... = α
χ
δ
δ
k −
k
=
= ... = m = 0
1
1
1

.
ל .
ש
מ


. dim(U + W ) = k + n + m = (k + n) + (k + m) − k = dimU + dimW − dim(U ∩ W ) ש
:
עבונ אכ
מ

---

. 5
רפסמ הלאש
. T(f (x)) = f (0) + xf '(x) :ידי לע תרדגומה תיראנילה היצמרופסנרט
ה T : F [x] → F [x] אה
ת
n
n
.א

.( f (x) לש תרזגנה אי
ה f '(x) ) .
n לש היצקנופכ
T לש הטננימרטדה תא ובשח
n
. A = 0 יכ וחיכו
ה .ספאל הווש היתוקזחמ תחאש
n רדסמ תיעוביר הצירט
מ

A אהת .ב
תו
. דוקנ 16
א
: יעס ורתפ
:וז היצמרופסנרטל ע"ו שחנל לק
רובע "
ע ו אוה כל
ו
: ייק
מ
ר
: שאכ
עובק ונילופ ל
כ .1
0
1. "עעה
.וזה הרוצהמ "
ל תב דחא ונילופ שי –
"
כ הס

: ייק
מ
ר
: שאכ
הרוצהמ ונילופ ל
כ .2
0

.
n ע"עה רובע "
ע ו אוה כלו
ו
. זה הרוצהמ ל"תב דחא ונילופ שי
לכל "
א ז
1,2,…,

. "
ל תב ע"
ו
n הפ ונאצמ כל "
ל תב ה ינו
ש "
ע על יכיישש "
ע וש עודי
ירשפאה ומיסכמה הז
ו "
ל תב ע"
ו n+1
צעב ונל שי כלו "
ל תב הו {1,x
) : הו "
ע ו ינש ש
י
1 ע"על
"
ע
. עה לכ תאו "
ע וה לכ תא ונאצמ כל –

n+
1 דמיממ אוה בחרמה יכ

: כל "
ע עה תלפכמ איה הטננימרטדה
det 1·1·2·3·….· !
ב
: יעס ורתפ
.
: ייקתמ זא יאתמ "
ע ע ו ע"

v

ו
א כ
ל
ש
:
כ
k ייק ותנה יפ לע
v λ v 0
λ
0
.
א
: וה "
א פה כל
ו ס
, פא אוה ירשפאה דיחיה "
ע ע
ה , כל

: ייקתמ וטלימה ילייק יפ לע
0

---