Funksione te pershtatshem per probleme ne kufij cilindrik

Universiteti i Tiranës
Fakulteti i Shkencave Natyrore
Departamenti i Fizikës
Seksioni i Fizikës Teorike Llogaritëse



Ergys Rexhepi

Mars 2008


Funksione të përshtatshëm për probleme
me kufij cilindrik.


Për probleme me kufij cilindrik dhe sferik, funksionet e kërkuar mund të derivohen si
zgjidhje vehtiake të problemit karakteristik, të përcaktuar nga ekuacioni:

2
2
2
 d
1 d
n 
2
4
∆ y =
+
−
y =


α y
(1)
n
2
2
dr
r dr
r



dhe kushtet kufitare janë:

 y
= 0
r 1
= ,r η
=

dy

(2)
= 0
 dr

r 1
= ,r η
=
ku η < 1.
Së pari ne mund të shohim që nëse f është një funksion i çfarëdoshëm i vazhdueshëm
dhe i kufizuar në intervalin (η,1) dhe y është një funksion që kënaq kushtet kufitare (2)
atëhere:

1
1
2
 d  df  n

ry∆ fdr =
y
∫
∫ 
r
−
f


 dr =
n
2
dr

 dr  r
η
η


(3)
1
2
1
 dy df
n

= − r
+
yf dr = r f ∆ ydr
∫ 

∫
2
n
dr dr
r
η


η

Nëse ym dhe yk janë zgjidhje vehtiake që i takojnë dy vlerave të ndryshme vehtiake αm
dhe αk, atëhere ato merren nga ekuacioni:

1
1
4
2
α
ry y dr = ry ∆ y dr
∫
∫

m
k
m
k
n
m
(4)
η
η

Duke përdorur rezultatin e paraqitur në shpehjen (3) marrim:

1

---

1
1
4
α
ry y dr = r ∆ y
∆ y dr
∫
∫

m
k
m
( n k )( n m )
(5)
η
η

Nga simetria e integralit në të djathtë të ekuacionit (5) në lidhje me n e m, ne arrijmë në
përfundimin që:
(α −α ) 1
4
4
ry y dr = 0
∫

m
k
k
m
(6)
η

Prej këtej nxjerrim se nëse kemi k ≠ m atëhere:
1
ry y dr = 0
∫

k
m
(7)
η

Si pasojë zgjidhjet vehtiake ym formojnë një bashkësi ortogonale me funksionin peshë r në
intervalin (1,η) .
Duke u kthyer tek ekuacioni (1), ne mund të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të tij
si kombinim linear të funksioneve të Bessel-it të llojeve të ndryshme të rendit n . Pra:

y = AJ (α r) + BY (α r) + CI (α r) + DK (α r)
(8)
n
n
n
n

ku A,B,C e D janë konstante arbitrare. Duke paraqitur zgjidhjen e përgjithshme në këtë formë
kemi parasysh se n është një numër i plotë. Nëse n nuk është një numër i plotë ne vetëm
duhet të shkruajmë J− në vënd të Y .
n
n
Nga relacionet e rekurencës së funksioneve të Bessel-it rrjedh që:

1
d r y = AJ αr + BY αr +CI αr + DK αr
(9)
n
( n )
(
)
(
)
(
)
(
)
n 1
n 1
n 1
n 1
α
−
−
−
−
r dr

Aplikimi i kushteve kufitare (2) tek zgjidhja (8) na çon tek ekuacioni karakteristik:

J (α )
Y (α )
I (α )
K (α )
n
n
n
n
J (αη)
Y (αη)
I (αη)
K (αη)
n
n
n
n
= 0
(10)
J
(α )
Y
(α )
I
(α )
−K (α )
n 1
−
n 1
−
n 1
−
n 1
−
J
(αη) Y (αη)
I
(αη)
−K (αη)
n 1
−
n 1
−
n 1
−
n 1
−

Nëse αm është një vlerë vehtiake dhe (1,Bm,Cm,Dm) është vektori i cili anihilohet nga matrica
(10), atëhere:

g
= J (α r) + B Y (α r) + C I (α r) + D K (α r)
n;m
n
m
m n
m
m n
m
m
n
m
(11)

është zgjidhje vehtiake që i përket vlerës vehtiake αm.

a) Integrali i normimit

Le të shënojmë:

2

---

u

= J (α r) + B Y (α r)
 n;m
n
m
m n
m


(12)
v
= C I (α r) + D K (α r)
 n;m
m n
m
m
n
m

Në këtë mënyrë kemi që:

g
(r) = u
(r) + v
(r)
n;m
n;m
n;m
(13)

Në sajë të kushteve kufitare që kënaq g
kemi:
n;m

u

(1) = −v
(1) ; u '
(1) = −v '
(1)
 n;m
n;m
n;m
n;m


(14)
u

(η) = −v
(η) ; u '
(η) = −v '
(η)
 n;m
n;m
n;m
n;m

dhe në veçanti kemi:

u
v '
− u '
v
= 0

n;m
n;m
n;m
n;m
(15)
r 1
= ,r η
=

Secili nga funksionet u
dhe v
është kombinim linear të funksioneve të Bessel-it
n;m
n;m
të të njëjtit argument, real ose kompleks. Këta funksione kënaqin ekuacionet:

2
1 d  du 
n;m
n
2
r
−
=

α
− u


2
m
n;m
r dr 
dr  r


(16)
2
1 d  dv

n;m
n
2
r
−
= α
+ v


2
m n;m
r dr


dr  r

Duke shumëzuar ekuacionet (16) respektivisht me rv
dhe ru
dhe duke i zbritur anë për
n;m
n;m
anë gjejmë që:

d  dv

d  du

2
;
;
2
n m
n m
α ru v
= u
r
− v
r
=
m
n;m n;m
n;m


n;m


dr 
dr 
dr 
dr 
(17)
d 
dv
du

n;m
n;m
=
ru
− rv
 n;m
n;m

dr 
dr
dr 

Duke integruar këtë ekuacion në lidhje me r marrim:

1
2α
ru
v
dr = r
∫
(u v' −v u'

m
n m n m
n m
n m
n m
n m ) 1
2
;
;
;
;
;
;
(18)
η
η

Madhësia në anën e djathtë të ekuacionit (18) bëhet zero në bazë të ekuacionit (15). Në këtë
mënyrë kemi:

1
ru
v
dr = 0
∫

n;m n;m
(19)
η


3

---

Duke përdorur këtë veti ne mund të shkruajmë:

1
1
2
rg
dr = r u
+ v
dr
∫
∫

n m
( 2
2
;
n;m
n;m )
(20)
η
η

Për të vlerësuar integralin e anës së djathtë, konsiderojmë së pari ekuacionin diferencial që
kënaq v
. Pas shumëzimit me
2
2r v '
, ekuacioni shkruhet në formën:
n;m
n;m

2
2
d (
dv
dv
rv '
n m
n m
= α r
+ n

(21)
n;m )2
2
2
;
2
;
m
dr
dx
dr

Duke integruar këtë ekuacion në lidhje me r, ne marrim:

(
dv
2
2
2
2
r (v '
) − n v
= α
r
dr = α
r v
− α
rv
dr
∫
∫

n m
n m )
1
2
1
1
1
2
2
n;m
2
2 2
2
2
2
;
;
m
n;m
n;m
n;m
n;m
(22)
η
dr
η
η
η

Prej këtu kemi:

1
2α
rv
dr =
∫
{−r (v' + α r +n v
m
n m
n m )
( m
) n m}1
2
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;
(23)
η
η

Në mënyrë analoge, nga ekuacioni që kënaq funksioni u
gjejmë:
n;m

1
2α
ru
dr =
∫
{+r (u' + α r −n v
m
n m
n m )
( m
) n m}1
2
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;
(24)
η
η

Duke mbledhur anë për anë ekuacionet (23) dhe (24) gjejmë që:

1
2
2α
r u
+ v
dr =
∫
n m
( 2
2
;
n;m
n;m )
η

(25)
{r (u'
v

=
−
+α r u
+ v
− n u
− v
n m )
( 'n m)
m
( n m n m)
( n m n m)


}1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;
;
;
;
η

Duke patur parasysh ekuacionet (14), ekuacioni (25) reduktohet në:

1
r
∫ (u +v dr = r u
= r v

n m
n m )
1
1
2
2
2
2
2 2
;
;
n;m
n;m
(26)
η
η
η

Duke u kthyer tek ekuacioni (20) dhe duke patur parasysh që funksionet g
dhe g

n;m
n;k
për m ≠ k janë ortogonal1, ne mund të shkruajmë:
1
rg
g dr = N
δ
∫

n;m
n;k
n;m
mk
(27)
η

1 Këto funksione janë ortogonal edhe me funksionin peshë r në intervalin (1,η).

4

---

ku:
2
2
2
2
2
2
N
= u (1) −η u (η) = v (1) −η v (η)
(28)
n;m
n;m
n;m
n;m
n;m


5

---