Introduction aux tenseurs pour la physique de la matière condensée (Tensors in condensed matter physics)

Table des matieres
1
Historique
4
2
Approche mathematique
5
2.1
Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Lemme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Espace tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Norme d'un tenseur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.1
Ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.2
Ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.3
Ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.4
Ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.5.1
Tenseur symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.5.2
Tenseur antisymetrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.5.3
Tenseur fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3
Approche physique
9
3.1
Tenseurs des proprietes des milieux anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Tenseur de polarisabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3
Tenseur des contraintes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.4
Loi de Hooke, deformations et elasticites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.4.1
Notation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.4.2
Application aux materiaux orthotropes et aux materiaux axisymetriques . . . . . .
13
3.4.3
Conventions de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.5
Tenseur piezoelectrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
A Notation d'Einstein
16
A.1 Indices muets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
A.2 Convention d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
B Notation de Voigt
19
C Le principe de Curie
20
D Coefficients de Poisson
21
D.1 Cas d'un materiau isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
D.2 Cas d'un isotrope transverse (stratifie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Bibliographie
23
1

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Remerciements
En premier lieu je remercie Donald Knuth et Leslie Lamport, LaTeX ayant ete d'une
grande aide pour l'ecriture des differentes formules mathematiques et la mise en page du
texte. Je me dois aussi de remercier Johannes Gutenberg et les investigateurs du projet
Arpanet.
Dans un domaine plus local, je remercie le professeur Pierre Saint-Gregoire pour
m'avoir guide dans mes recherches et donne son avis. Je peux egalement remercier tous
les professeurs de l'universite qui, de par leurs cours et leur presence, m'ont amene a
une relative comprehension des mathematiques et de la physique.
2

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Preface
Lorsque j'ai commence mes premieres recherches sur les tenseurs, il est rapidement
apparu qu'il s'agit d'un outil mathematique extremement important etudie
majoritairement a partir du master. Paradoxalement il semble que son enseignement ne
passe qu'au travers des differents objets d'etudes et non dans un chapitre lui etant
entierement consacre. De plus les tenseurs ont des applications tres variees, allant de la
physique dite classique a la mecanique quantique. Les tenseurs sont surtout etudies
dans le cadre de la relativite generale, grace a leurs proprietes invariantes. De ce fait
beaucoup de livres et cours disponibles sur internet integrent des notions qui peuvent se
montrer assez complexes.
Le sujet que je me devais d'etudier, porte sur la matiere condensee et dans un cadre tres
general cette appellation designe tous les systemes pouvant etre etudies a l'echelle du
laboratoire, c'est a dire d'un simple solide jusqu'a un condensat de Bose-Einstein.
Cependant il apparait que le domaine de la matiere condensee est souvent restreint aux
systemes cristallins et symetriques dans le cadre des masters.
Je me suis donc limite a ce cas et j'ai recherche les informations les plus aptes a decrire
les tenseurs. J'ai tout d'abord commence par l'aspect mathematique en essayant de
definir les tenseurs le plus clairement possible. Je me suis base sur les tenseurs que je
comptais presenter et surtout j'ai fait abstraction des informations qui me paraissaient
trop complexes dans le cadre de mes recherches. Par la suite, j'ai approfondi mon etude
dans le cadre de la physique, il resulte de cette recherche quatre tenseurs montrant
l'importance de leurs utilisations et les notions de symetrie qui s'y appliquent.
3

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Chapitre 1
Historique
Le calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapte
parfaitement a l'etude des proprietes mecaniques et physiques de la matiere dans
l'espace euclidien a trois dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la
physique, il apparait des grandeurs experimentales qui ne peuvent plus etre representees
par de simples vecteurs de la geometrie elementaire. C'est le cas, par exemple, en
mecanique des milieux continus, fluides ou solides, en physique des solides et
particulierement dans le cas des milieux anisotropes, en electromagnetisme, etc.
Ainsi, au debut du XIXeme siecle, l'analyse des forces qui s'exercent a l'interieur d'un
milieu continu a conduit a mettre en evidence des grandeurs physiques caracterisees par
neuf nombres, representant les forces de pressions ou de tensions internes. La
representation des ces grandeurs necessita l'introduction d'un nouvel etre mathematique
qui fut appele tenseur (du latin tensor ), par rapport a son origine physique. Par la suite
a partir de 1900, ce furent G Ricci et T. Levi-Civita qui developperent le calcul
tensoriel. L'etude des tenseurs permit un approfondissement de la theorie des espaces
vectoriels et contribua au developpement de la geometrie differentielle.
De plus, en 1915, Albert Einstein developpa la theorie de la relativite restreinte grace
au calcul tensoriel. Une idee directrice de la relativite etant de chercher une formulation
des lois de la physique qui soit independante du systeme de reference par rapport
auquel ces lois sont ecrites. Les tenseurs constituent l'outil essentiel pour cela.
4

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Chapitre 2
Approche mathematique
2.1
Base duale
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K.
2.1.1
Definition
Une forme lineaire sur E est une application lineaire de E dans K.
On note E* l'espace vectoriel des formes lineaires sur E et on l'appelle espace dual de E
Soit B = {e1, ..., en} une base de E.
Donc, x E s'ecrit d'une maniere unique comme combinaison lineaire des elements de
base B, i.e : !1, ..., n K/x = 1e1 + ... + nen.
1 si i = j
Soit la forme lineaire e sur E definie par e(e
i
i
j )=ij
0 si i = j
i est le symbole de Kronecker
j
On appelle les e les formes coordonnees par rapport a la base B
i
2.1.2
Lemme
L'espace dual E* de l'espace vectoriel E de dimension n sur K est un espace vectoriel de
meme dimension n dont les formes coordonnees, par rapport a une base B, forment une
base, appelee la base duale de B.
Demonstration
- 1) le systeme B={e, ..., e } est libre : en effet la forme
n

= 0 si et seulement
1
n
i=1
ie
i
si x E,
n

(x) = 0. Ainsi
n

(e
i=1
ie
i
i=1
ie
i
j ) = j = 0, pour tout j.
- 2) le syteme B={e, ..., e } est generateur : en effet , si f E et f (e
1
n
i) = i alors
f =
n

.
i=1
ie
i
5

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CHAPITRE 2. APPROCHE MATHEMATIQUE
6
2.2
Espace tensoriel
L'espace tensoriel generalise la notion d'espace dual. Nous considererons des espaces
vectoriels reels, mais ce qui suit est identique pour les espaces vectoriels complexes.
2.2.1
Definition
Soit E un espace vectoriel reel de dimension n, un tenseur de type (p,q) sur E est une
application :

E x ... x E x E x ... x E R

T :
q
p
(u1, ..., up, 1, ..., q) T (u1, ..., up, 1, ..., q)
est lineaire par rapport a chaque ui et i, c'est a dire que :
T (..., ui + vi, ...) = T (..., ui, ...) + T (..., vi, ...)
On note : T E ... E E ... E = (E)p (Eq), l'espace tensoriel des
p
q
tenseurs de type (p,q).
2.3
Norme d'un tenseur
2.3.1
Ordre 0
Par definition, un tenseur d'ordre 0 possede une seule composante qui est invariante
dans tout changement de repere : c'est donc un scalaire. Citons comme exemple le
produit scalaire de deux vecteur :
x .y =
x y =
S
[
(S-1)
x
I I
IixiSIj yj =
iI SIj ]xiyj =
iyi
I
I,i,j
i,j
I
i
car
(S-1)
I
iI SIj = ij . Donc
x .y = x.y.
2.3.2
Ordre 1
Un tenseur d'ordre 1 est assimilable a un vecteur ou a un covecteur. En effet, si l'espace
V est de dimension n, un tenseur d'ordre 1 dispose de n composantes dans une base
donnee, tout comme un vecteur. Si l'on change de bases, les composantes changent,
mais le tenseur correspondant reste le meme. En tant qu'application, le tenseur est un
forme lineaire definie sur V ou sur V et est donc un element de V ou de V.

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CHAPITRE 2. APPROCHE MATHEMATIQUE
7
2.3.3
Ordre 2
Placons nous dans
3
R et considerons un tenseur T d'ordre 2, c'est a dire un champ
defini sur une partie Q de
3
3
R et a valeur dans L(R ), l'ensemble des operateurs lineaires
sur
3
3
R . Ainsi si (e1, e2, e3) designe la base canonique de R , il est usuel d'exprimer un
tenseur sous sa forme matricielle dans la base canonique en chaque point de Q ou il est
defini :
t

11
t12 t13
T =
t
21
t22 t23
t31 t32 t33
ou chaque coefficient tij est une fonction scalaire defini sur Q. Il est alors commode
d'exprimer le tenseur comme une combinaison lineaire des applications lineaires
canoniques, notees sous la forme d'un produit tensoriel : ei ej, dont la representation
matricielle est la matrice nulle partout sauf pour le coefficient de la i-eme ligne, j-eme
colonne qui vaut 1. Par exemple :
0 1 0
e1 e2 =
0 0 0


0 0 0
Ainsi, on ecrit :
3
3
M =
mijei ej.
i=1 j=1
2.3.4
Ordre quelconque
On peut envisager des objets definis avec trois, quatre ou m indices (Aijk...). Un objet
defini par m indices et verifiant les formules de changement de base est un tenseur
d'ordre m. Sur un espace vectoriel de dimension finie n, chaque indice peut prendre les
valeurs de 1 a n. Un tenseur d'ordre m sur cet espace a donc nm coefficients selon une
base donnee. Si le tenseur "relie" m espaces vectoriels de dimensions differentes
n1, n2, ..., nm, alors le tenseur contient
m
n
i=1
i coefficients. Par exemple si le tenseur
d'ordre m represente une application multi-lineaire de V x V x ... x V dans K, alors :
T (a, b, ..., l) =
aibj...luT (ei, ej, ..., eu)
i,j,...,u
On retrouve les coefficients du tenseur T en identifiant Tij...u = T (ei, ej, ..., eu)
2.4
Produit tensoriel
Soit , E, on note ( ) (E E) un tenseur de type (2,0) defini par :
( )(u, v) = (u)(v) R
appele produit tensoriel.

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CHAPITRE 2. APPROCHE MATHEMATIQUE
8
2.5
Tenseurs particuliers
2.5.1
Tenseur symetrique
Un tenseur d'ordre 2 est symetrique est symetrique si :
Tik = Tki
ou
T (f, g) = T (g, f )
2.5.2
Tenseur antisymetrique
Un tenseur d'ordre 2 est antisymetrique si :
Tik = -Tki
ou
T (f, g) = -T (g, f )
2.5.3
Tenseur fondamental
Le tenseur fondamental gij est defini a partir du produit scalaire des vecteurs de base ei
et ej d'un espace vectoriel pre-euclidien En, par :
gij = ei.ej
Ces n2 constitutent les composantes du tenseur fondamental ou tenseur metrique.
Exemple
Considerons des vecteurs de base de l'espace vectoriel E3 des triplets de nombres :
e1 = (2, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 3)
. Definissons un produit scalaire des vecteurs de base en choisissant, par exemple, les
valeurs suivantes :
g11 = 4,
g22 = 1,
g33 = 9,
gij = 0
si
i = j
Ces valeurs satisfont bien aux proprietes axiomatiques d'un produit scalaire, les
tenseurs etant des vecteurs aux proprietes particulieres, on peut donc ecrire le tenseur
fondamental sous la forme classique d'un vecteur, note g, dont les composantes serait
ordonnees en une ligne, a savoir :
g = [g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33] = [4, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 9]
Cependant, on classe generalement les composantes des tenseurs sous forme d'une
matrice :
g



11
g12 g13
4 0 0
[gij] = g =
g
=
0 1 0
21
g22 g23


g31 g32 g33
0 0 9

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Chapitre 3
Approche physique
3.1
Tenseurs des proprietes des milieux anisotropes
Un grand nombre de proprietes des milieux anisotropes sont representees par des
tenseurs. Considerons par exemple le cas de la conducion electrique dans des cristaux
anisotropes ou le vecteur densite de courant, j = jiei, est lie au champ electrique
E = Ekek, par des relations de la forme :
ji = kE
i
k
Les neuf quantites k forment les composantes du tenseur de conductivite electrique.
i
La forme de la relation du vecteur densite de courant est analogue pour de nombreuses
autres proprietes dans les milieux anisotropes. Il en est ainsi pour les transferts de
chaleur par conduction ou le vecteur densite du flux thermique f a ses composantes liees
au vecteur gradient de temperature,
T , par les relations :
T
fi = -ji xj
Les neufs quantites j
i
constituent les composantes du tenseur de conductivite du
materiau.
3.2
Tenseur de polarisabilite
Certaines substances cristallines ont des proprietes differentes en fonction de la
direction, ces substances sont dites anisotropes. Pour une direction donnee d'un champ
electrique, le moment dipolaire induit par unite de volume (que nous noterons P ) est
proportionnel a la force du champ applique (que nous noterons E). Nous noterons la
constante de proportionnalite.
Nous allons considerer les substances pour lesquelles depend de la direction du champ
applique, comme par exemple, les cristaux comme le calcite, qui donne des images
doubles lorsque l'on regarde au travers.
Supposons que dans un cristal repondant aux criteres voulus, nous trouvions que le
champ electrique E1 associe a la direction x cree une polarisation P1 dans la direction x.
Par consequent un champ electrique E2 associe a la direction y, avec la meme force que
E1, produit une polarisation differente dans la direction y.
9

---

CHAPITRE 3. APPROCHE PHYSIQUE
10
Dans la plupart des cas la polarisation induite dans un cristal n'a pas la meme direction
que le champ electrique. Considerons un triedre direct, un champ electrique associe a la
direction x produira une polarisation P constituee de x, y et z composantes :
Px = xxEx
Py = yxEx
Pz = zxEx
Si E possede des composantes sur les axes x, y et z, alors la resultante des composantes
pour P s'obtient en sommant les contributions, c'est a dire :
Px = xxEx + xyEy + xzEz
Py = yxEx + yyEy + yzEz
Pz = zxEx + zyEy + zzEz
Le comportement dielectrique du cristal est alors totalement decrit par les neufs
quantites (xx, xy, ...). Ainsi tout champ electrique E peut etre defini avec ses
composantes Ex, Ey et Ez et en combinant ij, il est possible de trouver Px, Py et Pz qui
donnent la polarisation totale P
A partir du chapitre reserve aux proprietes mathematiques des tenseurs, nous deduisons
aisement que l'ensemble des neufs composantes ij forme le tenseur de polarisabilite,
qui est un tenseur d'ordre 2.


xx
xy xz
T =

yx
yy yz
zx zy zz
3.3
Tenseur des contraintes
Afin d'introduire la notion de contraintes, prenons une barre cylindrique a laquelle on
applique des forces opposees de meme direction a chaque extremite. L'elongation
produite par ces forces sera plus ou moins visible selon les materiaux. En appliquant des
forces de ce type a une barre, nous creons des contraintes a l'interieur de la barre. En
coupant la barre dans la direction des forces appliquees, aucun changement dans la
configuration de la barre ne sera observe. Si nous coupons la barre de maniere
transversale en n'importe quel point, nous observons des tiraillements de chaque cote de
la section.
Les forces ont donc ete transmises a travers la barre jusqu'au point de scission. La
contrainte depend donc de la distance entre le point considere et les limites du solide ou
est applique la force. De plus il est facile d'observer qu'une force identique appliquee a
une barre de section plus importante, produira un effet moins grand. Ce phenomene est
directement lie a la contrainte normale .
Lorsque l'on veut decrire l'ensemble des contraintes appliquees a un solide, il faut
prendre en compte les forces colineaires a la force imposee, qui se propagent dans le
solide, mais aussi de l'existence de forces deviees par la matiere et la geometrie du solide.
Une contrainte depend donc de l'intensite et de la direction de la force qui la provoque,
de la surface a laquelle la force est appliquee et de sa position a l'interieur du solide.

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