kontingenz

Statistik I f
ur Wirtschaftswissenschaftler:

Uberblick
5. Zusammenhangsmae f
ur
1. Kontingenz- und Indifferenztabelle
nominalskalierte Merkmale
2. Die Berechnung von Chi-Quadrat (2)
PD DR. RALF STECKING
3. Zusammenhangsmae auf der Basis von 2
Fachgebiet Statistik
(a) Phi ()
Carl von Ossietzky Universit
at Oldenburg
(b) Cramer's V
(c) Pearson's C
Fakultat II - Volkswirtschaftslehre, E-mail: ralf.w.stecking@uni-oldenburg.de
2
Kontingenz- und Indifferenztabelle
Empirische Kontingenztabelle ...
* Kontingenztabelle
- empirisch gegebene zweidimensionale Tabelle der absoluten H
aufigkeiten
Kontingenztabelle: Beobachtete Haufigkeiten fb
- pr
ufen, ob ein statistischer Zusammenhang zwischen den beiden Vari-
ablen besteht
Qualifikation
Bereich
Nicht-Akademiker Akademiker
Zeilensumme fi
* Indifferenztabelle
Bereich I
4
3
7
Bereich II
2
9
11
- Annahme: beide Variablen sind statistisch unabh
angig
- Frage: Wie m
usste die Kontingenzabelle dann aussehen?
Bereich III
3
4
7
- Indifferenztabelle wird
uber die Randverteilungen (f
Spaltensumme
i. und f.j) konstruiert
f
9
16
25
j
- Bei Unabh
angigkeit gilt:
f
f
i. * f.j
ij
=
N
(4. Satz der statistischen Unabh
angigkeit)
3
4

---

... und zugehorige Indifferenztabelle
Die Berechnung von Chi-Quadrat
Indifferenztabelle: Erwartete Haufigkeiten fe
Qualifikation
Merkmals-
2
Bereich
f
f
f f
f f
f f / f
b
e 
b
e 2
Nicht-Akademiker Akademiker
Zeilensumme f
kombination
b
e
b
e
e
i
Nicht-Akademiker
Bereich I
7
in Bereich I
4
2.52
1.48
2.19
0.87
Bereich II
11
Akademiker
Bereich III
7
in Bereich I
3
4.48
-1.48
2.19
0.49
Spaltensumme
Nicht-Akademiker
f
9
16
25
j
in Bereich II
2
3.96
-1.96
3.84
0.97
Akademiker
in Bereich II
9
7.04
1.96
3.84
0.55
Nicht-Akademiker
in Bereich III
3
2.52
0.48
0.23
0.09
Akademiker
in Bereich III
4
4.48
-0.48
0.23
0.05
Summe
25
25
0 3.02
5
6
Eigenschaften von Chi-Quadrat
Das Zusammenhangsma Chi-Quadrat (2)
* 2 lasst sich fur Tabellen beliebiger Groe berechnen
* Ausdruck der Starke des Zusammenhangs zweier Variablen
* Wenn Y und X unabhangig sind, gilt fe = fb und somit 2 = 0
* Vergleich der korrespondierenden Felderwerte der Kontingenz-
* 2 wachst mit den Unterschieden zwischen Kontingenz- und In-
und der Indifferenztabelle
differenztabelle, also mit wachsendem Zusammenhang zwischen
* Formal:
Y und X
* 2 wachst aber auch mit der Anzahl der Beobachtungen N!
2
(f
=
b - fe)2
fe
* 2 variiert mit der Groe und der Form der Tabelle!
fb
=
Tabellenfelderwerte der Kontingenztabelle und
fe
=
Tabellenfelderwerte der Indifferenztabelle
* 2 ist nicht auf den Bereich zwischen Null und Eins normiert
dient aber als Ausgangswert f
ur die folgenden Kontingenzmae
7
8

---

Zusammenhangsmae auf der Basis von 2 (2)
Zusammenhangsmae auf der Basis von 2 (1)
Cramer's V sichert die Normierung auf Werte zwischen Null und Eins
f
ur Tabellen beliebiger Form
Der Koeffizient Phi ()
2
2
V
=

=
N * MIN(z - 1, s - 1)
N
mit z Anzahl Zeilen und s Anzahl Spalten der Tabelle
Es gilt:
Es gilt:
0



1
f
ur 2 x 2 Tabellen
0

V

1
f
ur beliebige Tabellen
9
10
Eigenschaften von Pearson's C
Zusammenhangsmae auf der Basis von 2 (3)
* 0

C

CMAX

1
* CMAX(z)
=
z-1
Kontingenzkoeffizient Pearson's C
z
f
ur quadratische Tabellen mit z Zeilen
* C
z-1
MAX(z, s)

1
2
z +
s-1
s
f
ur rechteckige Tabellen
2
* CMAX 1
f
ur z, s
C
=
2 + N
mit z Anzahl Zeilen und s Anzahl Spalten der Tabelle
Beispiel:
Beispiel:
11
12

---

Welche Bucher liest Du vorwiegend?
Zusammenhangsmae auf der Basis von 2 (4)
fr_21 Kochbucher * Geschlecht Kreuztabelle
Anzahl
Der korrigierte Kontingenzkoeffizient CKORR
Geschlecht
mannlich
weiblic h
Gesamt
fr_21 K ochbuc her
selten / nie
46
46
92
neutral
8
13
21
C
haufig / sehr haufig
4
23
27
C
Gesamt
58
82
140
KORR
=
C

MAX
fr_22 Lehrbucher * Geschlecht Kreuztabelle
Es gilt:
Anzahl
Geschlecht
mannlich
weiblic h
Gesamt
0

CKORR

1
f
ur beliebige Tabellen
fr_22 Lehrbucher
selten / nie
2
1
3
neutral
13
16
29
haufig / sehr haufig
43
65
108
Beispiel:
Gesamt
58
82
140
13
Welche Bucher liest Du vorwiegend?
fr_25 Rom ane * Geschlecht Kreuztabelle
Anzahl
Geschlecht
mannlich
weiblic h
Gesamt
fr_25
selten / nie
29
11
40
Romane
neutral
6
19
25
haufig / sehr haufig
23
52
75
Gesamt
58
82
140
fr_27 S ci-Fi / Fanta sie * Ge schlecht Kreuz tabe lle
Anzahl
Geschlecht
mannlich
weiblic h
Gesamt
fr_27 S ci-Fi
selten / nie
39
57
96
/ Fantasie
neutral
5
10
15
haufig / sehr haufig
14
15
29
Gesamt
58
82
140

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