Lista 6 ME210

6a Lista de ME210
29/5/2012
1. Suponha que 3 bolas s
ao escolhidas ao acaso sem reposic
ao de uma urna com 5 bolas brancas e 8
bolas vermelhas. Seja Xi igual a 1 se a i-esima bola selecionada e branca e zero, caso contr
ario.
a. Encontre a func
ao de probabilidade conjunta de: (X1, X2)
b. Calcule a func
ao de probabilidade condicional de X1, dado que: i) X2 = 1; ii) X1 + X2 = 1.
b. Calcule a esperanca de X1, dado que: i) X2 = 1; ii) X1 + X2 = 1.
2. Escolha um n
umero X aleatoriamente dentre os seguintes n
umeros 1,2,3,4,5. Agora escolha um
n
umero aleatoriamente do conjunto dos n
umeros menores que X, isto
e, de 1,...,X. Chame-o de Y.
a. Encontre a func
ao de probabilidade conjunta de X e Y.
b. Encontre a func
ao de probabilidade condicional de X dado Y = i, i = 1, 2, 3, 4, 5.
c. X e Y s
ao independentes?
3. As probabilidades conjuntas das v.as X e Y s
ao:
p(1,2) = p(2,1) = p(2,2) = p(2,3) =1/4, zero para outros valores
Encontre: a. E(XY), b. E(XY + X2)
4. Suponha que X, Y e Z sejam v.as independentes com probabilidades iguais de serem 1 ou 2.
Encontre a func
ao de probabilidade de: a. XYZ, b. XY + XZ + YZ.
5. Para o lancamento de dois dados equilibrados, defina duas v.as. Seja X o n
umero de vezes em
que aparece a face 2 e Y igual a 0 se a soma for par e 1, caso contr
ario.
a. Determine a func
ao de probabilidade conjunta de X e Y.
b. Calcule E(X), E(Y) e E(X + Y).
c. Verifique se X e Y s
ao independentes.
d. Calcule o coeficiente de correlac
ao entre as v.as X e Y.
e. Verifique se E(XY) = E(X)E(Y).
E possivel tirar alguma conclus
ao sobre independ
encia destas
v.as somente utilizando o resultado encontrado em a?
6. Numa caixa existem 4 bolas numeradas 3, 5, 5 e 7. Uma bola
e sorteada ao acaso, seu n
umero
anotado (X1) e devolvida
a caixa. Uma segunda bola
e escolhida, tamb
em ao acaso, e seu n
umero
anotado por X2.
a. determine a distribuic
ao conjunta das v.as. X1 e X2.
b. Calcule as marginais de X1 e X2. Elas s
ao independentes?
c. Encontre o valor esperado de X1, X1X2 e (X1 + X2)/2.
7. A func
ao de probabilidade conjunta das v.as X e Y
e dada pela seguinte tabela de dupla entrada.
x/y
-1
0
1
-1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
a. Verifique se E(XY) = E(X)E(Y).
b. Utilize a definic
ao para verificar se as v.as X e Y s
ao independentes?
E possivel tirar alguma
conclus
ao sobre independ
encia destas v.as somente utilizando o resultado encontrado em a?
c. Calcule a correlac
ao entre as v.as X e Y condicionadas
as seguintes informac
oes. Casos (a)
X + Y < 1 e (b) |Y | = 1. Em cada caso duscuta se as v.as X e Y s
ao independentes.

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8. Sejam X bin(5; 0, 5) e Y bin(3; 0, 2) independentes. Determine a esperanca e a vari
ancia de
2X - 3Y.
9. Sejam X e Y duas vari
aveis aleat
orias independentes tendo distribuic
oes geom
etricas com mesmo
par
ametro. Considere que X e Y s
ao n
umeros de ensaios de Bernoulli at
e encontrar o primeiro
sucesso.
a. P (X = Y ).
b. Calcule P (X > 2Y |X > Y ). Se possivel simplifique a soluc
ao.
10. Sejam U = Y 2 e V = X + Y, com func
ao de probabilidade conjunta das v.as X e Y dada pela
tabela a seguir:
y
-2
0
2
x
-1
1/12
1/6
1/3
1
1/6
1/4
0
a. Obtenha func
ao de probabilidade conjunta das v.as U e V.
b. Calcule E(U |V 1).
c. Determine Corr(U, V ).
11. Suponha que estejamos interessados em estimar a proporc
ao de consumidores satisfeitos com um
certo produto.
a. Determine o tamanho da amostra para que a probabilidade de que o erro absoluto da estimativa
exceda a 0,02 seja menor do que 0,15.
b. Considere agora que foi adotado um tamanho amostral igual a 400. Se o valor verdadeiro da
proporc
ao
e igual a 0,25, qual a probabilidade de voc
e encontre na amostra uma proporc
ao maior
ou igual a 0,28.
c. Se o valor verdadeiro da proporc
ao
e igual a 0,25 e voc
e entrevistasse apenas 10 consumido-
res, qual a probabilidade de voc
e encontrar mais da metade dos consumidores satisfeitos com o
produto?
d. Suponha que voc
e contratou duas equipes independentes para fazer a mesma pesquisa, um
entrevistando 400 consumidores e outra 1000 consumidores. Qual a m
axima probabilidade de que
a diferenca absoluta entre as percentagens encontradas seja menor do que 3%?
e. No item anterior suponha que a primeira equipe d
e como resultado 35,5% e a segunda 30,1%.
Voc
e teria motivos para desconfiar que alguma equipe cometeu algum tipo de erro na conduc
ao
da pesquisa?
12. A distribuic
ao dos pesos dos novos recrutas pode ser considerada como aproximadamente N (73Kg, (3Kg)2).
Dois novos recrutas s
ao escolhidos ao acaso para realizar uma tarefa.
a. Os recrutas ser
ao considerados como adequados para a tarefa se a diferenca entre os pesos for
menor do que 10Kg. Calcule p, a probabilidade de que a dupla seja adequada.
b. Suponha agora que duplas sejam sorteadas at
e que se encontrem 2 duplas adequadas. Qual a
probabilidade de se ter que sortear pelo menos 6 duplas? Pode dar a resposta em func
ao de p.
c. Para uma segunda tarefa
e necess
ario que a soma dos pesos seja maior do que 140Kg. Qual a
probabilidade de que a dupla seja adequada?

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