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matematica formulas ensino medio

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todas as formulas de matematica do ensino medio
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Algebra

Porcentagem

Taxa percentual ou porcentagem de um numero a sobre um numero b, b 0 e a razao
x
x
x
tal que:
= a , e se indica:
= x% .
100
100
b
100
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de
x
um numero, significa multiplicar este numero por
.
100
15
Exemplo: 15 % de 200 =
. 200 = 30 .
100

Potenciacao

Definicoes

0
a R a =1

n
n 1
a R e n N a = a - . a

1. m
n
m n
a . a
a +
=

m
a
2.
m-n
= a
, a 0
n
a
3. (am )n = am . n
n
4. (a . b)n = an . b
5. (a : b)n = an : bn , b 0
1
6. a - n =
, a 0
n
a

n
Nota: Em geral (am )
n
am
n
Em geral (
)
n
n
a + b
a + b

1. n a . b = n a . n b
2. n a : b = n a : n b , b 0
3. (n a )m
n
m
= a
4. m n a = n . m a
m
5. n m
n
a
= a
n . p
6.
am . p = n am
1

Produtos notaveis
(a + b) x (a - b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 x (ab + ac + bc)
Fatoracao
ab + ac = a x (b + c)
ab + ac + db + dc = a x (b + c) + d x (b + c) = (b +c) x (a + d)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
ax2 + bx + c = a.(x - a1) x (x - a2), onde a1 e a2 sao as raizes de ax2 + bx + c = 0.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
a3 + b3 = (a + b) x (a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) x (a2 + ab + b2)
a2 + b2 +c2 + 2 x (ab + ac + bc) = (a + b + c)2
Numeros naturais
Numeros primos: Um numero natural e maior que 1 e primo se ele tiver apenas dois
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.
Numeros primos entre si: Dois numeros naturais sao primos entre si se o unico divisor
natural comum entre eles for 1.
Quantidade de divisores naturais de um numero natural
Se n = ap.bq.cr.ds..., entao n tem (p+1) x (q+1) x (r+1)... divisores positivos, sendo n um
numero natural e a, b, c, d, ... fatores primos do numero n.
Sequencias
Definicoes
Sequencia real e toda funcao f : I (R) R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n}
Se I = N*, a sequencia e chamada infinita.
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a sequencia e chamada finita.
2

Progressao Aritmetica (PA)
Definicao
Progressao aritmetica (PA) e toda sequencia numerica onde, a partir do primeiro termo
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razao da PA.
Consequencia da definicao: r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... ... = a n+1 - a n = r
Classificacao das PAs
Uma PA de numeros reais pode ser:
I.crescente: (razao positiva): r >0 a n+1 > a n
II. decrescente (razao negativa): r < 0 a n+1 < a n
III. constante (razao nula): r = 0 a n+1 = a n
Formula do termo geral de uma PA
Seja a PA(a
a
1, a2, a3, ... ... an). Entao:
n = a1 + (n - 1) x r, n I N*
Consequencia: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra:
an = ap + (n - p) x r, n,p I N*
Termos equidistantes em PA
Na PA generica: PA(a1, a2, a3,...
..., ap-1, ap, ap+1,...
...,an), tem-se:
a - + a
a
p k
p+k
=
p
com p, k I IN*
2
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3,...
..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos e dada por:
(a
a ) n
S
1
n
=
+
x
n
2
3

Progressao Geometrica (PG)
Definicao
Progressao geometrica (PG) e toda sequencia em que cada termo, a partir do segundo, e
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que e chamada razao da P.G.
Consequencia da definicao:
a
Se a
n+1
n
0, entao q =
; ou seja, encontramos a razao da PG dividindo um termo
an
qualquer pelo seu antecessor.
Classificacao das PGs:
Uma PG pode ser:
I.Crescente: quando an+1 > an
Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2
II. Decrescente: quando an+1 < an
Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3
III. Constante: quando an+1 = an
Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1
IV.Alternante: quando a
1
0 e q < 0
Exemplo: PG(2, - 4, 8, - 16, 32, ...), a1 = 2 e q = -2
V. Nao decrescente: quando a1 < 0 e q = 0
Exemplo: PG(- 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = - 2 e q = 0
VI.Nao crescente: quando a1 > 0 e q = 0
Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0
Formula do termo geral da PG
Seja a PG generica: PG(a
a
1, a2, a3, a4, ......). Assim:
n = a1 x qn - 1, n I N*
Consequencia: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra: an = ap x qn - p, n,p I N*
Termos equidistantes em PG
Na PG generica: PG(a1, a2, a3,...
..., ap-1, ap, ap+1,...
...,an), entao:
(ap)2 = (ap - k) x (ap + k), p,k I N*
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)
Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros
n (
x n-1)
n
termos. Assim:
P
n
n = a1 x q
2
ou
Pn = (a1 x an) 2
4

Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)
Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razao q e indiquemos por Sn a soma de seus n
primeiros termos. Assim:
a
(qn
x
-1)
Se a PG nao for constante, ou seja q
S
1
1 teremos:
n =
q -1
Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos: Sn = n x a1
Soma dos termos de uma PG infinita (S)
Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razao q e a soma de seus infinitos termos
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (serie)
Quando lim S = S
n
existe e e finito, dizemos que a serie converge para S.
n(R)
Quando esse limite nao existe ou nao e finito dizemos que a serie diverge (nao se pode
a
determinar tal soma). Se - 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S = S
1
n
=
n(R)
1- q
Funcao Exponencial
f(x) = ax ;
a > 0
e
a 1
Im
*
f = IR +
Df = IR
y
y
a > 1
0 < a < 1
funcao crescente
funcao decrescente
1
0
x
0
x
1. am . an = am + n
2. am : an = am - n , a 0
3. (am)n = am .n
4. n am = am n, n I IN / n >1
1
5. a- n =
, a 0
an
5

Equacao exponencial
af(x) = ag(x) U f(x) = g(x)
Inequacao exponencial
af(x) > ag(x) U f(x) > g(x), se a >1
af(x) > ag(x) U f(x) < g(x), se 0 < a < 1
Logaritmo
Definicao
logba = x U a = bx com a > 0, 0 < b 1
1. logc (a.b) = logca + logcb; a > 0, b > 0, 0 < c 1
ae a
2. logc c o/ = log
e
ca - logcb; a > 0, b > 0, 0 < c 1
b o
3. logc am = m . logca; a > 0, 0 < c 1 e m I IR
1
4. log a
. log
cm
=
ca; a > 0, 0 < c 1 e m I IR*
m
Funcao Logaritmica
f(x) = logax , a > 0 e a 1
Imf = IR
D
*
f = IR +
y
y
0
1
x
0
1
x
a > 1
0 < a < 1
funcao crescente
funcao decrescente
6

Geometria Plana
Relacoes metricas no triangulo retangulo
h2=m x n
b x c=a x h
b
h
c
b2=a x m
a2=b2 + c2 (Pitagoras).
m
n
c2=a x n
a
Relacoes metricas no circulo
P
B
A
A
B
C
A
P
D
C
B
P
D
T
PA x PB = PC x PD
PA x PB = PC x PD
(PT)2 = PA x PB
Lei dos
a
b
c
=
=
= 2R
sena
senb
seng
Lei dos cossenos
a2 = b2 + c2 - 2 x b x c xcos a
b2 = a2 + c2 - 2 x a x c xcos b
c2 = a2 + b2 - 2 x a x b xcos g
7

Teorema de Tales
a1 // a2 // a3 // .....
AB
BC
CD
AC
=
=
=
=
A' B'
B' C'
C' D'
A' C'
A' D'
Teorema da bissetriz interna
A
b
c
x
y
b
c
=
S
x
y
Teorema da bissetriz externa
A
b
c
c
y
C
S
B
b
c
x
=
x
y
Semelhanca de triangulos
A
P
b
H
c
y
z
h
B
C
Q
R
a
x
a
b
c
H
= = = =
Area DABC
k
= k2
x
y
z
h
Area DPQR
8

Arcos e angulos
a = a
a = a
a = a+b
2
2
b
a = a - b
a = a
2
2
Razoes trigonometricas
b
c
sen a =
sen b =
a
a
c
b
cos a =
cos b =
a
a
b
c
tg a =
tg b =
c
b
Comprimento da circunferencia
R
C = 2pR
Base media de triangulo

MN // BC
BC
MN = 2
9

Base media de trapezio

MN // AB
AB+ CD
MN =
2
Baricentro de triangulo
Poligonos convexos
Sendo
d = numero de diagonais;
Si = soma dos angulos internos e
Se = soma dos angulos externos,
n(n - 3)
temos:
d =
Si = (n - 2) x 180e
Se = 360
2
Areas
Retangulo
Paralelogramo
Triangulo
Trapezio
10

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