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Zentrum Mathematik
H¨
ohere Mathematik 1
Prof. Johannes M¨
uller
Blatt 2
Wintersemester 2010/2011
Hannes Petermeier
Vorbereitung
2.V.1. Fassen Sie die Rechenregeln f¨ur komplexe Zahlen zusammen!
2.V.2. Wie ist der Betrag definiert? Skizze!
2.V.3. Welche Rechenregeln gelten f¨ur das Summenzeichen, welche f¨ur das Produktzei-
chen?
2.V.4. Was ist der Betrag einer komplexen Zahl und wie l¨aßt sich der Betrag mittels
der konjugiert-komplexen Zahl angeben?
¨
Ubungsaufgaben
2.U.1. Geben Sie die Summen an!
a)
3
i=1 4
b)
n
i=1 2
c)
n
i=1 k
d)
6
i=1 i · 10−i
e)
6
i=1 2i
f)
5
i=1 ai101−i mit a1 = 3, a2 = 1, a3 = 4, a4 = 1, a5 = 5
g)
8
i=1 ai2i mit a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1, a5 = 0, a6 = 0, a7 = 1, a8 = 1
h)
3
i=1 aixi mit a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3
2.U.2. Gegeben sei xi = i f¨ur i ∈ {1, 2, 3}.
a) Geben Sie Π2i=1(x − xi) und Π3i=1(x − xi) an!
b) Welcher Typ von Funktion wird von den Produkten in a) und b) beschrieben?
c) Geben Sie - falls vorhanden - die Nullstellen der in beschriebenen Funktionen an!
2.U.3. Gegeben sind n Punkte (xi, yi). Tr¨agt man die Punkte in ein Koordinatensystem
ein, so scheinen Sie auf einer Geraden zu liegen. Es gilt: die Summe der Quadrate der
Punkte von einer Geraden y = ax + b ist am geringsten, wenn die beiden Gleichungen
n
n
n
n
n
0 = −
yixi + a
x2i − bn¯x, 0 = −
yi − a
xi +
b
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
zugleich erf
n
¨
ullt sind. ¯
x = 1n i=1 xi ist das arithmetische Mittel der xi. Folgende Abk¨urzungen
sind ¨
ublich: SQ2x =
n
i=1(xi − ¯
x)2 und SPxy =
n
i=1(xi − ¯
x)(yi − ¯y).
a) Zeigen Sie, daß SQ2x =
n
i=1 x2i − n¯
x2 und SPxy =
n
i=1 xiyi − n¯
x¯y gilt.
c) L¨
osen Sie die Gleichungen nach der Steigung und dem Achsenabschnitt auf und zeigen
Sie, daß a = SPxy
SQ2 und b = ¯
y − a¯x.
x
Bemerkung
Die Formeln sind sehr wichtig bei der Auswertung von Daten. Sie werden Ihnen im Laufe
des Studiums immer wieder und in verschiedener Form begegnen. Man nennt s2x = SQ2x
n−1
die Varianz, sx die Standardabweichung und sxy = SPxy
(n−1) die Kovarianz einer Stichprobe
vom Umfang n. Die mit den n Punkten (xi, yi) ermittelte Steigung und Achsenabschnitt
legen die Regressionsgerade fest.
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2.U.4. Ermitteln Sie die L¨osungsmengen von | x |=| x − 3 | und |x| < 1
|x+3|
|x−1| ?
Tutor¨ubung
2.T.1. Best¨atigen Sie durch ausrechnen, daß
3a + 4bi
4a − 3bi
(28a2 − 21b2) + (abi)
+
=
4a − 3bi
4a + 3bi
16a2 + b2
√
√
√
√
1 + a + i 1 − a
√
√
−
1 − a + 1 + a
√
√
= 2a
1 + a − i 1 − a
1 − a − i 1 + a
Geben Sie - falls erforderlich - die Einschr¨
ankungen f¨
ur a, b ∈ R an!
2.T.2. Zeigen Sie durch Ausrechnen, daß f¨ur z, w ∈ C gilt, daß z + w = ¯z + ¯
w,
z − w = ¯z − ¯
w, z · w = ¯z · ¯
w bzw. zw = ¯z¯w
2.T.3. Ermitteln Sie i0, i1, i2, i3, i4, i5, i−1, i−2 und i−3.
2.T.4. Geben Sie die L¨osungsmengen der Ungleichungen an!
a) | 2x2 − 3x + 4 |< 3 b) | x − 3 |>| 3x − 4 | c) | x + 5 |< 1
|x−1|
2.T.5. In einem Seminarraum sitzen in den Tutor¨ubungen an f¨unf Tischen jeweils 9,
9, 7, 8 und 4 Studierende. Geben Sie das arithmetische Mittel und die Varianz der Zahl
der Studierenden pro Tisch an!
2.T.6. Bei einer Parallelschaltung von Widerst¨anden gilt 1
1
R =
n
i=1 R . In einer Paral-
i
lelschaltung besitzen zwei Widerst¨
ande einen Widerstand von je 5Ω. Wie groß muß der
dritte Widerstand sein, daß der Gesamtwiderstand der Schaltung 2Ω betr¨
agt?
2.T.7. In einer Wechselstromschaltung sind zwei komplexe Widerst¨ande zi = Ri + jωLi,
mit i = 1, 2 mit einem variablen reellen Widerstand R so verschaltet, daß man f¨ur den
Gesamtwiderstand der Schaltung
1
z−z = 1
erh¨
alt. Wie ist R zu w¨
ahlen, daß die
1
R + 1
z2
Gr¨
oße G = zz2
z−z rein imagin¨
ar wird?
1
Nachbereitung
2.N.1. Fassen Sie die Strategien zum Au߬osen von Ungleichungen zusammen!
2.N.2. Best¨atigen Sie durch Nachrechnen!
√
√
√
√
√
a)
3−i 2
√
√ = 1 − i2 6
5
√
= 3 − i2 5 c) 56+33i
3+i 2
5
5
b) 1−20i
7−2 5i
12−5i = 3 + 4i
Die ¨
Ubungsaufgaben werden in der Zentral¨
ubung am Dienstag, den 2.11. besprochen.
Fragen und Hinweise bitte an hm1@wzw.tum.de.
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