Notes du Cours d’Optique

Ecole Polytechnique de l’Université de Nice - Sophia Antipolis
CiP1
Notes du Cours d’Optique
Prof. Patrizia Vignolo
Nasser Kriouche
Nicolas Mercadier
Sommaire :
– Les fondements de l’optique géométrique
page 1
– Imagerie. Exemple des dioptres et des miroirs
page 5
– Les lentilles et l’association de lentilles
page 11
– Quelques notions d’optique ondulatoire
page 17

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Ecole Polytechnique de l’Université de Nice
Année 2010/2011
Cours No 1 d’Optique
CiP1
Cours No 1 : Les fondements de l’optique géométrique
1
Introduction
L’Optique est la partie de la physique qui étudie les propriétés de la lumière.
La lumière naturelle est une superposition d’ondes électromagnetiques de longeurs d’ondes
λ différentes.
Une lumière monochromatique est une lumière composée d’une seule longueur d’onde.
La lumière visible correspond à des longeurs d’ondes comprises entre 400 nm (violet) et
800 nm (rouge) environ :
Dans l’étude de la lumière rencontrant des objets macrosopiques, la petitesse de la longeur
d’onde λ vis à vis des grandeurs des objets qu’elle rencontre a permis d’élaborer une théorie
géométrique de la propagation des ondes lumineuses : l’optique géométrique.
1

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2
Les principes de l’optique géométrique
2.1
Existence des rayons lumineux
On appelle rayon lumineux, toute courbe suivant laquelle se propage la lumière. En op-
tique géométrique on suppose que les rayons lumineux sont indépendants les uns des
autres.
2.2
Définition de l’indice d’un milieu
L’indice n
Quelques exemples :
j (λ) d’un milieu j est égal au rapport
de la vitesse de la lumière c dans le vide et de la
liquide
indice de réfraction
vitesse de la lumière vj dans le milieu j :
verre
1.511 à 1.535
c
benzéne
1.501
nj =
.
v
alcool éthylique
1.361
j
glycérine
1.473
n
eau
1.333
j est toujours ≥ 1, c’est-à-dire, vj ≤ c.
Chemin optique
Supposons qu’un rayon lumineux parcoure en ligne droite le segment AB, de longueur lAB,
qui sépare deux point A et B d’un milieu homogène et isotrope d’indice n. On appelle
chemin optique entre A et B la quantité
LAB = nlAB.
Chemin optique élémentaire
Entre deux points voisins séparés de ds, le chemin optique élémentaire est défini par
dL = nds. A partir du chemin optique élémentaire on peut définir le chemin optique pour
une courbe quelconque
L(AB) =
nds.
AB
Chemin optique stationnaire
Considérons une trajectoire C′ obtenue en déformant C
par un deplacement élémentaire δx, en chaque point x
de C, sauf en A et B (δA = 0 et δB = 0). Le chemin
C′
δx
optique L calculé le long de C est stationnaire si
B
L′(C′) − L(C)
lim
= 0,
C
δx→0
δx
A
dL
c’est-à-dire si
= 0.
dx
2

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2.3
Le principe de Fermat
Entre deux points A et B reliés par un rayon lumineux, le chemin optique le long du trajet
suivi par la lumière est stationnaire.
Conséquence 1 :
Dans un milieu homogène, transparent et isotrope, les rayons lumineux sont des lignes
droites.
Conséquence 2 :
Les lois de Snell-Descartes
3
Lois de Snell-Descartes
A la surface de séparation de deux milieux, les rayons lumineux obéissent aux lois de
Snell-Descartes.
Considérons un rayon lumineux AI incident arrivant sur la surface de séparation de deux
milieux. On appelle plan d’incidence, le plan défini par le rayon incident AI et la normale
IN. Au rayon lumineux incident, il correspond un rayon réfléchi IR (dans le premier
milieu) et un rayon réfracté IR′ (dans le second milieu).
– Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans
N
A
R
le plan d’incidence.
– L’angle de réflexion ˆ
r est égal en module à
ˆi
l’angle d’incidence ˆi
1
ˆ
r
1 et de signe opposé.
– Pour deux milieux donnés et une lumière de lon-
I
gueur d’onde donnée λ, le rapport
ˆi2
sinˆi1
n
= 2(λ)
sinˆi
n1(λ)
R′
2
N ′
est constant, n1 et n2 étant les indices des deux
milieux.
3.1
Compléments à la loi de Snell-Descartes
Construction de Huygens
Pour construire le rayon réfléchi et le rayon réfracté à l’interface entre deux milieux d’in-
dices n1 et n2 (le rayon incident se propageant dans le milieu d’indice n1), on procède de
la façon suivante :
1. Le rayon réfléchi est le rayon symétrique du rayon incident par rapport à la normale
au point d’incidence.
2. Pour le rayon réfracté on doit envisager deux cas.
3

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n1 < n2 (ex : air-eau)
A
ˆi1
n
I
1
n2
Il existe toujours un rayon réfracté.
ˆi2
R′
n1 > n2 (ex : eau-air)
A
Comme montré sur la figure à gauche,
ˆ
il existe un angle limite ˆi
i
L tel que |ˆ
i2| =
L
π :
n
I
2
n1
2
n
sin |ˆi
2 .
R′
ˆ
L| =
i2
n1
A
ˆi1
Si |ˆi
n
1| < |ˆ
iL|,
I
2
n1
il existe un rayon réfracté.
ˆi2
R′
Si |ˆi1| > |ˆiL|, il n’existe pas de rayon réfracté. On parle de réflexion totale interne : la
lumière est totalement réflechie à la surface de séparation des deux milieux.
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Ecole Polytechnique de l’Université de Nice
Année 2010/2011
Cours No 2 d’Optique
CiP1
Cours No 2 : Imagerie. Exemple des dioptres et des
miroirs
1
L’image d’un point
Définition d’un système optique
S.O.
x
x
A
A’
Un système optique est une succession de milieux transparents et homogènes séparés par
des dioptres ou des miroirs. Un dioptre est une surface qui sépare deux milieux d’indices
différents. Un miroir est une surface réfléchissante.
Image d’un point
Lorsque les rayons issus d’un point objet A émergent d’un système optique en convergeant
vers un point A′, on dit que A′ est l’image de A, ou que A et A′ sont des points conjugués
pour l’instrument, ou que le système optique est stigmatique pour le couple de points AA′.
Si c’est le prolongement des rayons issus du point objet conjugué qui convergent au point
image on dit que l’image est virtuelle. Pareillement on dit qu’un objet est virtuel s’il est
au prolongement des rayons incidents (s’il est placé au delà de la face d’entrée du système
optique).
1.1
Le stigmatisme rigoureux
Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A′
si tout rayon passant par A passe par A′ après avoir traversé le système optique.
5

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1.2
Exemple d’instrument rigoureusement stigmatique :
le miroir plan
Un miroir plan est une surface plane réfléchissante. Il s’agit d’un instrument optique qui
vérifie le stigmatisme rigoureux pour tout point objet.
Soient A un point lumineux et O un obser-
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vateur situés du même côté du miroir. Alors
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A′
A
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A′ est l’image de A, observable pour tout
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observateur O si tous les rayons réfléchis par
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le miroir issue de A semblent provenir du
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point A′.
ˆ
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i
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Remarque 1 : L’image A′ est le point symé-
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trique du point A par rapport au plan du
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ˆ
r
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miroir. Il s’agit d’une image virtuelle.
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Remarque 2 : C’est le seul instrument
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rigoureusement stigmatique en tout point.
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1.3
Le dioptre plan
Une des conséquences des lois de Snell-Descartes est
que le dioptre plan est un système non-stigmatique. Un
dioptre plan est une surface plane qui sépare deux mi-
lieux d’indices différents.
Il peut arriver que la lumière issue d’un point placé dans
un aquarium, par exemple, donne des rayons réfractés
dans l’air qui ne possédent pas d’intersection. Dans ce
cas le point image n’existe pas. Mais le faisceau de lu-
mière issu du point objet peut être suffisamment étroit
pour que la tache sur la rétine apparaisse comme un
point. Dans ce cas on voit le point image. On est alors
dans un cas de stigmatisme approché.
2
Approximation de Gauss
Quelques définitions :
– Un système optique est centré s’il possède une symétrie de révolution autour d’un axe ;
– cet axe est appelé axe optique.
– Un rayon lumineux est paraxial s’il est incliné faiblement sur l’axe optique (sinˆi ≃ ˆi),
et s’il frappe le système à une distance h faible devant son rayon de courbure.
L’approximation de Gauss consiste en l’étude des systèmes centrés, limitée aux rayons
paraxiaux. Il s’agit de l’approximation linéaire de l’optique géométrique : sinˆi ≃ ˆi.
Les système centrés tels que les dioptres sphériques, les miroirs sphériques et les lentilles
minces, sont approximativement stigmatiques lorsqu’ils travaillent dans l’approximation
de Gauss. C’est-à-dire que tout rayon issu d’un point A de l’axe optique émerge du système
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en passant très près d’un point A′, l’image de A. De même ces systèmes, les conditions de
Gauss étant verifiées, sont approximativement aplanétiques :
– il existe l’image de tout point hors de l’axe optique
– l’ensemble des points images des points d’un plan perpendiculaire à l’axe optique est
lui-même un plan perpendiculaire à l’axe optique (l’image d’un plan perpendiculaire à
l’axe optique est un plan perpendiculaire à l’axe optique).
Dans la suite on va déduire la relation qui lie la position de l’image à la position de
l’objet pour des systèmes optiques centrés dans l’approximation de Gauss. Cette relation
est appelée relation de conjugaison.
2.1
Le dioptre sphérique
Un dioptre sphérique est une surface sphérique séparant deux milieux d’indices n et n′.
I
n′
n
ˆi1
ˆi2
ˆ
ˆ
φ
ˆ
θo
θi
A
S
H
C
A′
z
Conventions et définitions
– La lumière se propage de gauche à droite ;
– z : axe optique (l’un quelconque des diamètres du dioptre) ;
– ¯
R = ¯
SC : rayon de courbure algébrique du dioptre ;
– po = p = ¯
SA : distance algébrique de l’objet. Si p < 0, l’objet est réel et si p > 0, l’objet
est virtuel.
– pi = p′ = ¯
SA′ : distance algébrique de l’image. Si p′ > 0, l’image est réelle et si p′ < 0,
l’image est virtuelle.
n′ − n
– V =
¯
: vergence du dioptre ; si V > 0 le dioptre est convergent et si V < 0 le
R
dioptre est divergent.
n
– fo = f = ¯
SF = −
: distance algébrique focale objet (p′ → ∞) ;
V
n′
– fi = f ′ = ¯
SF ′ =
: distance algébrique focale image (p → ∞) ;
V
Relation de conjugaison
7

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n′
n
n′
n
−
= V =
= −
p′
p
f ′
f
Démonstration.
On considère les triangle AIC et CIA′. On a : |ˆi1| = |ˆ
θo| + | ˆ
φ| et | ˆ
φ| = |ˆi2| + |ˆ
θi|.
De la loi de Snell-Descartes en approximation de Gauss on a : n|ˆi1| = n′|ˆi2| et donc
HI
HI
HI
n|ˆ
θo| + n′|ˆ
θi| = (n′ − n)| ˆ
φ|. Or, vu que |ˆ
θo| ≃
, |ˆ
θ
et que | ˆ
φ| ≃
, en exploi-
|p|
i| ≃ |p′|
|R|
tant la définition des distances algébriques, on obtient le résultat.
Remarque : L’avantage d’utiliser les distances algébriques est que l’expression de la rela-
tion de conjugaison est la même pour un dioptre convergent ou divergent.
2.2
Le miroir sphérique
miroir sph´
erique concave
miroir sph´
erique convexe
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A′
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A
A
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C
F
S
A′ F
C
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S
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Relation de conjugaison
1
1
1
2
+
=
=
p′
p
f
¯
R
¯
R
où p = ¯
SA, p′ = ¯
SA′, ¯
R = ¯
SC et f = f ′ =
= ¯
SF .
2
3
Construction des images
Dioptre sphérique
– Tout rayon issu du centre C n’est pas réfracté (ˆii = ˆi2 = 0).
– Tout rayon issu du foyer objet F est réfracté parallèle à l’axe optique
– Tout rayon incident parallèle à l’axe optique passe par le foyer image F ′.
Miroir sphérique
– Tout rayon issu du centre C est rétro-réfléchi (ˆii = ˆ
r2 = 0).
– Tout rayon issu du foyer objet F est réfléchi parallèle à l’axe optique.
– Tout rayon incident parallèle à l’axe optique est réfléchi vers le foyer image F ′ (F ′ ≡
F ).
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