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Pep algebra 2011

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EFC 2011

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Santiago, Mayo 03 de 2011.
Primera Prueba de
Algebra I.
Nombre:
1. Demuestre que el n
umero 444 . . . 4 888 . . . 8 9 es un cuadrado perfecto.
n cuatros n-1 ochos
2. Determine si existe o no un polinomio p(x) de grado 3 tal que p(2) = 0, y p(k) = 4 para k = -2, -1, 1.
Si la respuesta es afirmativa, determine p(x).
3. Demuestre usando inducci
on que para todo n
umero natural n se tiene que 10n + 3 * 4n+2 + 5 es divisible
por 9.
4. Si se tienen tres t
erminos en progresi
on geom
etrica, y se resta 8 del segundo t
ermino se obtiene una
progresi
on aritm
etica, y si en esta se resta 64 del tercer t
ermino resulta nuevamente una progresi
on
geom
etrica. Determine, si es posible, todas las progresiones involucradas en el problema.
5. Muestre que el coeficiente del t
ermino central del desarrollo binomial (1 + x)2n, es igual a la suma de
los coeficientes de los dos terminos centrales del desarrollo binomial (1 + x)2n-1.
Observaciones
Solo se aceptar
an consultas de redacci
on dentro de los primeros 10 minutos.
No se admiten consultas relacionadas con la materia.
No se permite el uso de apuntes ni libros.
Todas las preguntas tienen igual ponderaci
on, 12 puntos.
Duraci
on 90 minutos.
Preguntas incompletas o sin justificaci
on ser
an evaluadas con menor puntaje.
Profesor
: Miguel
Angel Mu
noz Jara.
1
email
: miguel.munoz.jara@gmail.com

PAUTA.
Observaci
on. La soluci
on de los siguientes problemas puede no ser
unica.
Si encuentra alg
un ( Herror) favor comuniquelo via email.
1. Demuestre que el n
umero 444 . . . 4 888 . . . 8 9 es un cuadrado perfecto.
n cuatros n-1 ochos
Soluci
on. Observe:
444 * * * 4 888 * * * 8 9
= 4 (111..,1) 10n + 8 (111..,1) +1
n cuatros n-1 ochos
n unos
n unos
= 4(1 + 10 + 102 + 10n-1)10n + 8(1 + 10 + 102 + 10n-1) + 1
10n - 1
10n - 1
= 4
10n + 8
+ 1
10 - 1
10 - 1
1
=
[4(10n - 1)10n + 8(10n - 1) + 9]
9
1
=
4 * 102n + 4 * 10n + 1
9
[2 * 10n + 1]2
=
9
2 * 10n + 1 2
=
3
Asi de lo anterior se tiene que el n
umero 444 * * * 4 888 * * * 8 9 es un cuadrado perfecto.
n cuatros n-1 ochos
2. Determine si existe o no un polinomio p(x) de grado 3 tal que p(2) = 0, y p(k) = 4 para k = -2, -1, 1.
Si la respuesta es afirmativa, determine p(x).
Soluci
on. Si p(x) es el polinomio en cuesti
on, se debe cumplir que:
p(x) = (x - 2)(ax2 + bx + c)
ya que p(2) = 0, por lo tanto x - 2 divide a p(x).
Por otro lado, del enunciado se tiene que p(k) = 4 para k = -2, -1, 1, de donde se deduce que:
(-2 - 2)(a(-2)2 + b(-2) + c)
= 4
(-1 - 2)(a(-1)2 + b(-1) + c)
= 4
(1 - 2)(a(1)2 + b(1) + c)
= 4
Es decir:
Profesor
: Miguel
Angel Mu
noz Jara.
2
email
: miguel.munoz.jara@gmail.com

-16a + 8b - 4c = 4
-3a + 3b - 3c
= 4
-a - b - c
= 4
Al resolver sl sistema, se tiene que:
1
4
7
a = -
b = - c = -
3
3
3
1
4
7
Por lo tanto el polinomio, p(x) = (x - 2)
- x2 - x -
satisface que p(2) = 0, y p(k) = 4 para
3
3
3
k = -2, -1, 1.
3. Demuestre usando inducci
on que para todo n
umero natural n se tiene que 10n + 3 * 4n+2 + 5 es divisible
por 9.
Soluci
on. Para demostrar la afirmaci
on utilizaremos el principio de inducci
on matem
atica.
a) Analisis para n = 1.
10n + 3 * 4n+2 + 5 = 10 + 3 * 63 + 5 = 207 = 23 * 9
Por lo tanto, la afirmaci
on es v
alida para n = 1.
b) Supongamos que para n = m se tiene que:
10m + 3 * 4m+2 + 5 = 9A
Donde A Z.
c) Por demostrar que para n = m + 1, se tiene que:
10m+1 + 3 * 4m+3 + 5 = 9B
Para alg
un B Z. En efecto:
10m+1 + 3 * 4m+3 + 5
= 10 * 10m + 3 * 4 * 4m+2 + 5
= (9 + 1) * 10m + 3 * (3 + 1) * 4m+2 + 5
= 9(*10m + 4m+2) + 10m + 3 * 4m+2 + 5
HI
= 9(*10m + 4m+2) + 9A
= 9(*10m + 4m+2 + A)
Por lo tanto, si n = m + 1 se tiene que:
Profesor
: Miguel
Angel Mu
noz Jara.
3
email
: miguel.munoz.jara@gmail.com

10m+1 + 3 * 4m+3 + 5 = 9B
De lo anterior se tiene que, para todo n
umero natural n se tiene que:
10n + 3 * 4n+2 + 5
es divisible por 9.
4. Si se tienen tres t
erminos en progresi
on geom
etrica, y se resta 8 del segundo t
ermino se obtiene una
progresi
on aritm
etica, y si en esta se resta 64 del tercer t
ermino resulta nuevamente una progresi
on
geom
etrica. Determine, si es posible, todas las progresiones involucradas en el problema.
Soluci
on. Denotemos por x, y, z los n
umeros en progresi
on geom
etrica, por lo tanto las progresiones
involucradas son:
x,
y,
z
P G
x,
y - 8,
z
P A
x,
y - 8,
z - 64
P G
Del enunciado obtenemos:
xz
= y2
(1)
x + z
= 2(y - 8)
(2)
x(z - 64)
= (y - 8)2
(3)
Observe que de las ecuaciones (1) y (3) se deduce que:
y2 - 64x = y2 - 16y + 64 y = 4 + 4x (4)
Por lo tanto de (2) y (4), se tiene que:
z = 2y - 16 - x z = 7x - 8 (5)
Asi de (1), (4) y (5), se tiene que:
4
x(7x - 8) = (4 + 4x)2 9x2 + 40x + 16 = 0 x = -4 x = - 9
Por lo tanto:
a) Si x = -4, entonces y = -12 y z = -36.
4
20
100
b) Si x = - , entonces y = -
y z = -
.
9
9
9
Profesor
: Miguel
Angel Mu
noz Jara.
4
email
: miguel.munoz.jara@gmail.com

5. Muestre que el coeficiente del t
ermino central del desarrollo binomial (1 + x)2n, es igual a la suma de
los coeficientes de los dos terminos centrales del desarrollo binomial (1 + x)2n-1.
Soluci
on. Observe que el coeficiente del t
ermino central del desarrollo binomial (1 + x)2n es:
2n
C2n,n =
n
Por otro lado, los coeficientes de los t
erminos centrales del desarrollo binomial (1 + x)2n-1 son:
2n - 1
2n - 1
C2n-1,n-1 =
C
n - 1
2n-1,n =
n
De lo anterior obtenemos:
2n - 1
2n - 1
C2n-1,n-1 + C2n-1,n =
+
n - 1
n
(2n - 1)!
(2n - 1)!
=
+
(n - 1)!n!
(n - 1)!n!
(2n - 1)!
= 2 (n - 1)!n!
(2n - 1)!2n
= (n - 1)!n!n
(2n)!
= n!n!
2n
=
n
= C2n,n
Asi de lo anterior se tiene que, el coeficiente del t
ermino central del desarrollo binomial (1 + x)2n, es
igual a la suma de los coeficientes de los dos terminos centrales del desarrollo binomial (1 + x)2n-1.
Profesor
: Miguel
Angel Mu
noz Jara.
5
email
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