Resumé

Resume : Equations Differentielles
Realise Par : Hajjara Salah eddine


I )Equations differentielles lineaires du premier ordre :

A) Generalites :

1
Definition :

On appelle equation differentielle lineaire du premier ordre une equation du type
a(x) y' (
b x) y c(x) , ou a, b, c sont des fonctions, a n'etant pas la fonction nulle.
I etant un intervalle sur lequel a, b, c sont definies, une fonction f est solution de
cette
equation
sur
I
lorsque
f
est
definie
et
derivable
sur
I
et :
x
I,a(x) f '(x) (
b x) f (x) c(x) .

Proposition :

L'ensemble des solutions sur un intervalle I de l'equation lineaire du premier ordre
homogene : (H ) : a(x) y' (
b x) y 0 est un sous-espace vectoriel du K-ev
(
F I , K )
(eventuellement reduit a
0 ).
Si
l'equation
differentielle
lineaire
du
premier
ordre
complete
(E) : a(x) y' (
b x) y c(x) admet une solution f sur I, alors les solutions sur I de (E)
0
sont exactement les fonctions f f , decrivant le K-ev des solutions sur I de (H)
0

B) Resolution d'une equation differentielle lineaire homogene d'ordre
1 sur un intervalle :


Thm :

Soit (H ) : a(x) y' (
b x) y 0 une equation lineaire du premier ordre homogene et
soit I un intervalle sur lequel a et b sont continues et a ne s'annule pas. Alors :
- En notant G une primitive quelconque sur I de
b
, les solutions sur I de (H) sont
a
les fonctions de la forme x G(x)
e
, decrivant K.
- Si une solution de (H) sur I s'annule en un point, elle est nulle
- Le K-ev des solutions de (H) sur I est de dimension 1, toute solution non nulle de
(H) en constitue donc une base.

C) Recherche d'une solution particuliere a l'equation differentielle
lineaire du premier ordre complete (E)

S.Hajjara
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On doit chercher une solution particuliere de (E) : a(x) y' (
b x) y c(x)
Methode de variation de la constante :
On se place sur un intervalle I ou a, b, c sont continues et ou a ne s'annule pas.
On connait une solution , non nulle (et qui ne s'annule donc pas sur I), a
l'equation (H) : a(x)y' (
b x) y 0
On cherche alors une solution f de (E) sous la forme f , ou est une
fonction derivable. On a les equivalences :
f verifie (
E)
x
I, a(x)('(x)(x) (x)'(x)) b(x)(x)(x) c(x)
x
I, a(x)'(x)(x) (x a
)( (x)'(x) b(x)(x)) c(x)









0

2
x
I, a(x)'(x)(x) c(x)
c
e
st u
ne p
rimitive

de

s
ur I

a

II )Equations differentielles du second ordre :
A) Generalites :

Definition :

On appelle equation differentielle lineaire du second ordre une equation du type
a(x) y'' (
b x) y'c(x) y d(x) , ou la fonction a n'est pas nulle.
Une fonction deux fois derivable sur un intervalle I est solution de cette equation
sur I si et seulement si x
I,a(x) f ''(x) (
b x) f '(x) c(x) f (x) d(x) .
Comme dans le cas des equations differentielles lineaires d'ordre 1, on etablit
aisement :
Proposition :

L'ensemble des solutions sur un intervalle I de l'equation differentielle lineaire
d'ordre 2 et homogene (H) : a(x)y'' (
b x) y'c(x) y 0 est un sous-espace vectoriel du
K-ev (
F I , K ) (eventuellement reduit a
0 )
Si l'equation lineaire du second ordre complete (E) : a(x)y'' (
b x) y'c(x) y d(x)
admet une solution sur I, alors les solutions sur I de (E) sont exactement les fonctions
f f , decrivant l'espace vectoriel des solutions sur I de (H).
0

B) Resolution d'une equation lineaire homogene d'ordre 2 a
coefficients constants

Soit l'equation (H ) : ay''by'cy 0 , avec a,b,c K et a 0 . On fait la
resolution sur un intervalle I quelconque (mais infini), etant entendu qu'on cherche les
solutions a valeurs dans K.
Par analogie avec ce qu'on a eu pour les equations du premier ordre, cherchons les
solutions du type
r.x
x e
, ou r K .
Lorsqu'on remplace dans l'equation, on a, apres simplification, l'equivalence :
r.x
x e
est solution de (H) r est solution de l'equation
2
ax bx c 0 .
S.Hajjara
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Cette equation s'appelle l'equation caracteristique associee a l'equation
differentielle (H). Supposons qu'elle admette dans K des solutions , (eventuellement
confondues). Cherchons alors les autres solutions de (H).

Soit f deux fois derivable sur I, et soit
.x
h : x f (x)e
.
On note s , p .
On a les equivalences :
f e
st s
olution
(

de H ) a( f ''sf ' pf ) 0 ( f ''sf ' pf )
0
(h'' 2
h
2
'
h) s(h'
h) ph 0
h'' 2
h'sh
2
' 0
(car s p )
0
h'' ( )h'
3
(
) x
k
K , x
I,h'(x) ke
Ainsi, si , on a donc :
f e
st s
olution
(

de H ) k
K,
K, x
I,h(x) kx

.x
k
K,
K, x
I, f (x) (kx e
)
Et si ,on a :
k
(
)x
f e
st s
olution
(

de H ) k
K ,
K , x
I,h(x)
e



.x
.x

K ,
K , x
I, f (x) e
e

En prenant K C , on a la proposition suivante :
Proposition :

Soit (H ) : ay''by'cy 0 une equation differentielle lineaire d'ordre 2 a
coefficients (complexes) constants. Alors les solutions complexes de (H) sur I forment
un C-ev de dimension 2.
Plus precisement, si on note (C) l'equation
2
ax bx c 0 , on a :
(1) si (C) admet deux racines distinctes , , alors cet espace est engendre par les


fonctions
.x
x e
et
.x
x e
.
(2) si (C) admet une racine double , alors cet espace est engendre par les


fonctions
.x
x e
et
.x
x x e
.
.
Avec K R maintenant :
Proposition :
Soit (H ) : ay''by'cy 0 une equation lineaire du second ordre a coefficients
(reels) constants. Alors les solutions reelles de (H) forment un R-ev de dimension 2.
Plus precisement, si on note (C) l'equation
2
ax bx c 0 , on a :
(1) si (C) admet deux racines reelles distinctes , , alors cet espace est engendre


par les fonctions
.x
x e
et
.x
x e
.
(2) si (C) admet une racine (reelle) double , alors cet espace est engendre par les


fonctions
.x
x e
et
.x
x x e
.
.
(3) si (C) admet deux racines complexes non reelles conjuguees u
i et u
i ,
alors cet espace est engendre par les fonctions
u.
x e x cos(.x) et
u.
x e x sin(.x) .

C) Recherche d'une solution particuliere d'une equation lineaire
d'ordre 2 a coefficients constants
S.Hajjara
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Dans ce qui suit, a, b, c sont des elements de K, avec a 0 .

1) Considerations generales


Si f est solution de ay''by'cy d (x) , et si f est solution de
1
1
2
ay''by'cy d (x) alors, pour tous scalaires , , f f
est solution de
2
1
2
ay'' by
'cy d
(x) d
(x) .
1
2

Si a, b, c sont reels, et si f est une solution complexe de ay'' by
'cy d(x) ,
alors f est une solution de ay''by'cy d (x) , Re f une solution de
4
ay'' by
'cy Re(d(x)) et Im f une solution de ay'' by
'cy Im(d(x)).


2) Second membre polynomial

Si Q est un polynome de degre n, alors l'equation ay'' by
'cy (
Q x)
admet, sur R, une solution polynomiale de degre n si c 0 , n 1 si c 0 et
b 0, n 2 si b c 0 .
En effet :
L'application : P aP'' bP


' cP de K[ X ] dans lui-meme est lineaire...

Si c 0 , il est clair que conserve les degres, donc ker
0 et
(K [X ]) est inclus dans K [X ]. Donc constitue une bijection de
n
n
K [ X ] dans lui-meme, d'ou l'existence de P de degre n tel que (P) Q ,
n
c'est-a-dire tel que x P(x) soit solution de l'equation.

Si c 0 et b 0, il est clair que abaisse d'un cran les degres, donc
ker K [ X ] et (K
[ X ]) est inclus dans K [ X ] , donc, d'apres le
0
n 1

n
theoreme noyau - image, (K
[ X ]) K [ X ] . Il existe donc P de degre
n 1

n
n 1 tel que (P) Q . (mais non unique, contrairement au cas precedent ; a
une constante additive pres en fait)

Si b c 0 : l'existence de P est evidente.


3) Second membre polynome fois exponentielle


Si Q est un polynome de degre n, alors l'equation
.x
ay''by'cy Q(x)e


admet une solution du type
.x
f : x P(x)e
, ou P est un polynome de degre n si
n'est pas solution de l'equation caracteristique, sinon de degre n 1, ou meme
n 2 lorsque est racine simple/double de l'equation caracteristique.
En effet, on a les equivalences (en notant (E) l'equation differentielle) :



f es
t s
ol.
(

de

E)
x
R, a(P''(x) .
e x 2P'(x) .x
2
e
P(x) .
e x )




b(P'(x) .
e x P(x) .
e x ) cP(x) .
e x Q(x) .
e x

x
R, aP''(x) (2a b)P'(x) ( 2
a b c)P(x) Q(x)
donc f est solution de (E) x P(x) est solution de ay''y' .y
(
Q x)
ou a
2 b , a2 b c .
S.Hajjara
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On est donc ramene au cas du 2) avec comme equation caracteristique
2
ax x 0 , et n'est nul que si est racine au moins simple de l'equation
2
ax bx c 0 , et n'est nul que si est racine double de cette meme
equation (alors
b
)
2a

4) Cas reel, second membre polynome fois exponentielle fois sin ou
cos

Pour les equations :


ay''by'cy Q(x)
.
e x cos(.x) ou ay''by'cy Q(x) .
e x sin(.x) , ou tout
5
le monde est reel, il suffit de prendre une solution reelle ou imaginaire d'une

solution de
(
i ).x
ay''by'cy Q(x)e



S.Hajjara
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