tdproba

Ensimag 1re ann
ee
2005-2006
Travaux dirig
es de Probabilit
es
Appliqu
ees

---

1
Chapitre 1 et 2
Exercice 1 .
On lance deux d
es non pip
es. Calculer la probabilit
e des
ev
enements
suivants
a) Obtenir au moins un six.
b) Obtenir au moins un num
ero pair.
c) La somme des num
eros obtenus est
egale
a 6.
d) La somme des num
eros obtenus est paire.
Exercice 2 .
Soit X un nombre positif mesur
e
a l'issue d'une
epreuve al
eatoire. On
suppose que
b
0 a b < ,
P(X [a, b]) =
e-xdx .
a
a) Calculer P(X t) pour tout t 0.
b) Calculer P(sin X 0).
c) Soit U un nombre pris au hasard dans [0, 1] tel que
0 a b 1 ,
P(U [a, b]) = b - a .
Calculer pour tout 0 a b, P( ln(1/U ) [a, b]).
Exercice 3 .
Les algorithmes suivants jouent aux d
es. Certains trichent. Lesquels ?
a) X - int(RAN DOM 6) + 1
b) X - round(RAN DOM 5) + 1
c) X - int(RAN DOM 10); X - (Xmod6) + 1
d) X - int(RAN DOM 12); X - (Xmod6) + 1
e) X - int(6 sqr(RAN DOM )) + 1
On consid
ere que RAN DOM est un nombre pris au hasard dans [0, 1] comme dans
l'exercice pr
ec
edent c).
Exercice 4 . Ecrire un algorithme qui retourne 0 avec probabilit
e 1 , 1 avec probabilit
e
6
1 et 2 avec probabilite 1 a partir d'un (ou plusieurs) nombres pris au hasard dans [0, 1].
3
2
Exercice 5 .
Ecrire un algorithme qui choisisse entre n
eventualit
es e1, . . . , en,
l'
eventualit
e ei avec la probabilite pi (les probabilites p1, . . . , pn sont donnees et leur
somme vaut 1).
Exercice 6 .
Il y a une chance sur trois pour que l'
equipe d'Allemagne soit en finale
du championnat du monde de football, une chance sur deux pour que l'
equipe du Br
esil
2

---

le soit et onze chance sur quinze qu'au moins une des deux soit en finale. Quelle est la
probabilit
e pour que la finale oppose le Br
esil et l'Allemagne ?
Exercice 7 .
Soit A et B deux
ev
enements tels que :
1
1
4
P(A) =
; P(B) =
; P(A B) =
.
3
4
9
Calculer P(A| B), P(
A| B), P(A
B| B).
Exercice 8 .
Le quart d'une population a
et
e vaccin
e contre une maladie. Au cours
d'une
epid
emie, on constate qu'il y a parmi les malades un vaccin
e pour quatre non
vaccin
es. On sait de plus qu'il y avait un malade sur douze parmi les vaccin
es. Quelle

etait la probabilit
e de tomber malade pour un individu non vaccin
e ? Conclusion.
Exercice 9 .
(Source T
el
ecom : A. Bienven
ue) Jojo fait du ski
a la station Vall
ees
Blanches. Il est en haut du t
el
eski des Cailloux, et a le choix entre les pistes de Tout-
plat (une bleue), Les Bosses (une rouge) et Les Rase-Mottes (une noire). Il choisit une
piste au hasard de telle facon qu'il emprunte la bleue et la noire avec la probabilit
e
1/4 et la rouge qu'il pr
ef
ere avec la probabilit
e 1/2. Il descend ensuite la piste choisie.
Jojo n'est pas encore tr
es
a l'aise cette saison. Il tombe avec une probabilit
e de 1/10
sur une piste bleue, 1/6 sur une piste rouge et 2/5 sur une piste noire.
a) Calculer la probabilit
e de l'
ev
enement Jojo tombe sur la piste qu'il a choisie.
b) Bernard, qui attend Jojo en bas des pistes,
a la terrasse d'un caf
e, voit
arriver Jojo couvert de neige : il est donc tomb
e. Sachant cela, qu'elle est
la probabilit
e que Jojo ait emprumpt
e la piste noire.
Exercice 10 .
On simule le lancer de deux d
es
equilibr
es
a n faces. On note S la
somme des deux d
es.
a) Pour tout 1 i n + 1, montrer que
i - 1
P(S = i) =
.
n2
b) Pour tout n + 2 i 2n, montrer que
2n - i + 1
P(S = i) =
.
n2
c) Calculer P (S n + 1).
Exercice 11 .
On r
ep
ete le lancer d'un d
e (que l'on suppose
equilibr
e)
a 10 faces
jusqu'
a ce que le d
e produise un r
esultat inf
erieur ou
egal
a 6. On note alors X le
r
esultat produit. D
eterminer la probabilit
e de l'
ev
enement (X = k), k = 1, . . . , 6.
3

---

Exercice 12 .
On choisit un nombre N au hasard entre 1 et 4 puis un nombre X au
hasard entre 1 et N . Quelle est la probabilit
e de l'
ev
enement (X = k), k = 1, . . . , 4.
Exercice 13 .
On r
ep
ete le lancer d'un d
e (que l'on suppose
equilibr
e)
a 12 faces
jusqu'
a ce que le d
e produise un r
esultat pair que l'on divise finalement par deux. Le
r
esultat final est-il uniform
ement r
eparti dans {1, . . . , 6} ?
Exercice 14 .
Un jeu n
ecessite le lancer d'un d
e
a 33 faces. Comment peut-on jouer

a ce jeu avec un d
e
a six faces ? M
eme question avec un d
e
a 19 faces.
Exercice 15 .
(Source AB) On lance un d
e
a cinq faces plein de fois. On note pn la
probabilit
e que la somme des r
esultats obtenus lors des n premiers lancers soit paire.
Calculer p1. Exprimer pn+1 en fonction de pn et en deduire pn.
Exercice 16 .
Un questionnaire
a choix multiples comprend huit questions. Pour
chacune d'entre elles quatre r
eponses sont propos
ees dont une seule est la bonne. Un
candidat d
ecide de r
epondre au hasard et ind
ependamment
a chacune des questions.
Soit X le nombre de bonnes r
eponses qu'il donne.
a) D
eterminer la loi de X.
b) Pour
etre recu, il faut donner au moins cinq bonnes r
eponses. Quelle est la
probabilit
e pour que ce candidat soit recu ?
c) Ecrire un algorithme de simulation de la variable X.
d) Un autre candidat connait la r
eponse
a trois des questions pos
ees et r
epond
au hasard aux autres. Quelle est la probabilit
e qu'il soit recu ?
Exercice 17 .
Un rat se trouve dans un labyrinthe face
a quatre portes dont une
seule conduit
a la sortie. Chaque fois qu'il choisit une mauvaise porte, le rat recoit
une d
echarge
electrique et revient
a son point de d
epart. On note X le nombre d'es-
sais n
ecessaires au rat pour sortir du labyrinthe et on envisage successivement trois
hypoth
eses sous lesquelles on d
eterminera la loi de X.
a) Le rat n'a pas de m
emoire. Il choisit
a chaque essai de facon
equiprobable
l'une des quatre portes.
b) Le rat a une m
emoire imm
ediate. A chaque nouvel essai, il
evite la mauvaise
porte de l'essai pr
ec
edent et choisit au hasard parmi les trois autres.
c) Le rat a une bonne m
emoire.
A chaque nouvel essai, il
evite toutes les
mauvaises portes choisies pr
ec
edemment et choisit au hasard parmi les res-
tantes.
Ecrire un algorithme de simulation de la variable X dans chacune des trois hypoth
eses.
Exercice 18 .
(Source : A. Bienven
ue) Blanche-Neige passe la serpilli
ere quand la
m
echante reine se pr
esente, grimm
ee en pauvre vieille, pour lui offrir un panier de cinq
4

---

pommes bien rouges, dont une empoisonn
ee et deux v
ereuses. Blanche-Neige prend les
pommes une par une pour les croquer. Si elle tombe sur une pomme v
ereuse, elle jette
le reste du panier au cochon, sinon elle continue. Calculer la probabilit
e pour que
a) le cochon tr
epasse,
b) Blanche-Neige mange toutes les pommes.
Exercice 19 . D
erangements.
Ecrire un algorithme de simulation d'une permu-
tation de {1, . . . , n} au hasard (une permutation est une application bijective {1, . . . , n}
dans lui-m
eme).
a) Quelle est la probabilit
e qu'une telle permutation ne modifie pas le num
ero
1 ?
b) Quelle est la probabilit
e qu'une telle permutation ne modifie pas les k pre-
miers num
eros ?
c) D
emontrer, pour toute famille finie d'
ev
enements (Ai)i=1,...,n, la relation
suivante
n
P(A1 . . . An) =
(-1)r+1
P(Ai . . . A ).
1
ir
r=1
1i1<...<irn
d) Calculer la probabilit
e que la permutation simul
ee modifie tous les num
eros.
Exercice 20 .
Mickey Markov est tr
es fier de son beau parapluie. Surtout que la
r
egion est tr
es pluvieuse et qu'il doit effectuer n = 20 trajets entre son domicile et
son lieu de travail chaque mois. Il d
emarre de son domicile. Lorsqu'il fait beau, Mickey
n'emporte jamais son parapluie. Lorsqu'il pleut, il le prend dans la mesure ou il est
disponible. Lors d'un trajet, il pleut avec la probabilit
e p. On d
efinit la variable Xn de
la mani
ere suivante.
Xn = 1 si l'individu est en possession du parapluie
a l'issue du netrajet
Xn = 0 sinon.
a) Ecrire un algorithme de simulation pour la variable Xn.
b) En utilisant un argument de r
ecurrence, calculer P(Xn = 0).
c) Calculer la probabilit
e pour que Mickey se mouille lors du ni
eme trajet.
d) C'est novembre et p = 1/3. Donner une valeur approch
ee de la probabilit
e.
Exercice 21 .
Quelle est la probabilit
e pour que sur n personnes prises au hasard,
toutes aient des dates d'anniversaires diff
erentes ? Calculer n pour que cette probabilit
e
soit sup
erieure
a 0.5.
Exercice 22 .
Un logiciel comporte n = 5 fautes. A chaque ex
ecution, toute faute
a la probabilit
e p = 1 d'
etre corrig
ee. Les corrections sont ind
ependantes les unes des
3
5

---

autres. Combien de fois faut-il ex
ecuter ce logiciel pour que la probabilit
e qu'il ne reste
aucune faute soit de 0.90 ?
Exercice 23 .
Nous inhalons
a chaque inspiration environ 2.2 1022 mol
ecules d'air.
L'atmosph
ere est compos
ee au total de 1044 mol
ecules d'air. Quelle est la probabi-
lit
e d'inhaler au moins une des mol
ecules du dernier soupir de Jules C
esar lors d'une
inspiration ?
Exercice 24 .
Pour deux joueurs A et B, une partie de d
es se d
eroule de la mani
ere
suivante. A commence et jette deux d
es. Si la somme des points marqu
es sur les deux
d
es est six, A est vainqueur et le jeu s'arr
ete. Sinon, B lance
a son tour les deux d
es.
Si la somme des points marqu
es est sept, B est vainqueur et le jeu s'arr
ete. Sinon, une
autre partie est jou
ee. Tous les lancers de d
es sont suppos
es ind
ependants.
a) Quelle est la probabilit
e que A gagne
a la premi
ere partie ? M
eme question
pour B.
b) Quelle est la probabilit
e pour que la ni
eme partie soit effectivement jou
ee
et que ce soit A qui la gagne ? M
eme question pour B.
c) Quelle est la probabilit
e que A (resp. B) termine vainqueur ? A et B vont-ils
jouer ind
efiniment ?
2
Chapitre 3
Exercice 25 . On munit un ensemble de cardinal infini de la tribu P() des parties
de et on d
efinit une application de P() dans {0, +} de la mani
ere suivante :
(A) = 0 si A est une partie finie,
= + sinon.
a) L'application est-elle une mesure positive sur (, P()) ?
b) Comment modifier la d
efinition de pour en faire une mesure positive ?
Exercice 26 .
Etant donn
e un ensemble , quelle est la tribu engendr
ee par :
a) {A}, A ?
b) {A, B} (consid
erer en premier lieu le cas A B = ) ?
c) {A1, . . . , An} ? Quel est le nombre maximal d'elements dans cette tribu ?
Exercice 27 .
On munit = IR de sa tribu de Borel B(IR) et d'une mesure positive
born
ee P. Montrer que, pour tout x IR,
1
1
P({x}) = lim P(]x -
, x +
[) .
n
n
n
6

---

Exercice 28 .
Dans IR muni de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue ,
construire une suite {An} de boreliens emboites telle que :

(
An) = lim (An).
n
n=1
Exercice 29 .
Dans IR, muni de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue ,
calculer (Q).
Exercice 30 .
On munit l'ensemble = [0, 1] de sa tribu de Borel et de la mesure
de Lebesgue .
a) Montrer que tout x [0, 1] admet un d
eveloppement de la forme

x
x =
n avec xn {0, 1, 2}.
3n
n=1
b) On consid
ere l'ensemble C d
efini par :
C = {x [0, 1] : xn {0, 2} pour tout n 1}.
Montrer que C n'est pas d
enombrable. Proposer une mani
ere de construire
C geometriquement.
c) Calculer (C).
Exercice 31 .
Soit (, B, ) un espace mesur
e et X une application mesurable de
dans IR+.
a) On pose, pour tout entier n, An = { : X() n}. Montrer
X int
egrable implique lim n(An) = 0.
n
b) Montrer

X int
egrable implique
(An) < .
n=1
Exercice 32 .
Dans IR, muni de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue ,
montrer que les conditions du th
eor
eme de convergence domin
ee de Lebesgue ne sont
pas des conditions n
ecessaires. (On pourra consid
erer la suite Xn(x) = n x 1
(x)).
[ 1 , 1 [
n+1 n
7

---

Exercice 33 .
On d
efinit l'application de IR+ dans IR par
+
(t) =
e-xxt-1dx.
0
a) Montrer que est d
efinie pour tout t dans IR+, continue, derivable sur ] 1 , 2[
2
et que
+
(1) =
e-x ln xdx.
0
b) En utilisant le th
eor
eme de convergence domin
ee, montrer, pour tout entier
k :
n
x
+
lim
(1 -
)n(ln x)kxt-1dx =
e-x(ln x)kxt-1dx.
n+
n
0
0
c) En d
eduire
1
1
+
lim (1 +
+ . . . +
- ln n) = -
e-x ln xdx.
n+
2
n
0
Exercice 34 .
Soit (, A, P) un espace muni d'une structure probabiliste. Soit X
une variable al
eatoire
a valeurs dans IN telle que, pour toute partie A de IN ,
n
P(X A) =
e- n!
nA
o
u est une constante r
eelle positive.
a) Calculer
X dP
.

b) Donner une interpr
etation de cette int
egrale. Calculer
X2 dP.

Exercice 35 .
Soit (, A, P) un espace muni d'une structure probabiliste. Soit X
une variable al
eatoire
a valeurs dans IN . Montrer que

X dP =
P(X > n)
.

n=0
Application.
Calculer cette grandeur lorsque X est une variable al
eatoire de loi
g
eom
etrique de param
etre p, (0 < p < 1).
8

---

3
Chapitre 4
Exercice 36 .
Joe et Bill jouent
a la roulette russe avec un pistolet
a six coups
qui contient une seule balle. On fait tourner le barilet une seule fois au d
ebut du jeu.
Soit N la variable al
eatoire
egale
a la dur
ee du jeu. D
eterminer la loi de N et son
esp
erance. Joe joue le premier. Quelle est la probabilit
e pour que Joe meure le premier.
Joe a-t-il r
eellement int
eret
a d
ebuter le jeu ? On fait tourner le barillet avant chaque
essai. M
emes questions.
Exercice 37 .
On choisit 10 intervalles de longueur 1/10 dans (0, 1). Les intervalles
peuvent se recouvrir de mani
ere arbitraire. Soit U un point tir
e au hasard dans (0,1).
A combien d'intervalles en moyenne U appartient-il ?
Exercice 38 .
Soient I1 et I2 deux intervalles de longueur 1/2 inclus dans (0, 1). Soit
U un point tir
e au hasard dans (0,1) et N le nombre d'intervalles qui contiennent U .
D
eterminer la loi de N . Calculer E[N ].
Exercice 39 .
Dans une urne, il y a 3 boules rouges, 2 boules noires et 5 boules
blanches. On effectue n tirages successifs dans l'urne en replacant
a chaque fois la boule
tir
ee dans l'urne. On s'int
eresse au nombre de boules de chaque couleur r
esultant de
cette exp
erience.
a) Quelle est la nature de la variable al
eatoire d'int
er
et correspondant
a cette
exp
erience ?
b) Quelle est sa loi ?
c) Int
egrer cette variable sous la mesure de probabilit
e correspondant au mod
ele
de cette exp
erience ?
Exercice 40 . (Source AB) Math
ematiques financi
eres.
Jojo veut envoyer dix
billets de 10000 francs CFA
a son amis Gbetnkom qui habite au Cameroun. Il glissera
les billets entre les pages d'articles de math
ematiques qu'il lui enverra. Cependant, un
envoi sur cinq est perdu ou d
etourn
e par les postiers ou les douaniers. Jojo pense
a
trois m
ethodes d'envoi diff
erentes :
1. Il met les dix billets dans un seul paquet ;
2. Il met cinq billets dans un seul paquet et cinq dans un autre ;
3. Il met chaque billet dans un paquet different, et enverra les dix paquets
a des
dates diff
erentes.
On note X le nombre de billets recu par Gbetnkom.
a) Pour chacune des m
ethodes pr
ec
edentes, d
eterminer la loi de X, son esp
erance
et sa variance.
9

---

b) Quelle est la meilleure strat
egie d'envoi si l'on veut que E[X] soit maximale,
ou que Gbetnkom recoive au moins un billet avec la plus grande probabi-
lit
e possible, ou que Gbetnkom recoive tous les billets avec la plus grande
probabilit
e possible.
Exercice 41 .

A La Grave (Hautes-Alpes), le nombre d'alpinistes inexp
eriment
es qui
se perdent dans la montagne suit la loi de Poisson de param
etre > 0. Un alpiniste
inexp
eriment
e peut tomber dans une crevasse avec la probabilit
e p ou subir des chutes
de pierres avec la probabilit
e q. Quelle est la loi du nombre d'alpinistes tomb
es dans
une crevasse, ou victimes de chutes de pierres, ou les deux ?
Exercice 42 .
Soit (, A, P) un espace muni d'une structure probabiliste. Soient
A, B, C trois
ev
enements ind
ependants dans la tribu A. On d
efinit la variable al
eatoire
X par
X = 1 A + 1B + 1C
.
Calculer E[X] et E[X2]. D
eterminer la loi de la variable al
eatoire X.
Exercice 43 .
Un joueur parie sur la r
ealisation d'
ev
enements A et B de la mani
ere
suivante. Le gain du joueur est d'une unit
e si A se r
ealise. Il ajoute r unit
es supple-
mentaires
a ce gain si, de surcroit, B se r
ealise aussi. Si A ne se r
ealise pas, le joueur
perd s unit
es. Soit X la variable al
eatoire
egale au gain du joueur
a l'issue du pari.
1) Exprimer X sous la forme d'une variable
etag
ee en faisant apparaitre les fonc-
tions indicatrices de A, A B et
A.
2) Calculer l'esp
erance de X.
3) D
eterminer la loi de X.
Le pari porte sur le lancer de deux pi
eces de monnaie non truqu
ees et sur les

ev
enements A = "La premi
ere pi
ece montre pile" et B = "la deuxi
eme pi
ece montre
pile".
4) A quelle condition l'esp
erance E[X] est-elle positive ?
5) On suppose que r = s = 1. Calculer V ar(X).
Exercice 44 .
Question A - Soit U un nombre pris au hasard dans l'intervalle (0, 1) et (I1, . . . , Im)
une partition de (0, 1) en m intervalles. On d
efinit la variable al
eatoire discr
ete K de
la mani
ere suivante
k = 1, . . . , m ,
(K = k) si
Ik contient U.
1) D
eterminer la loi de la variable al
eatoire K.
2) Nous nous int
eressons
a la longueur de l'intervalle qui contient U . Il s'agit d'une
variable al
eatoire que l'on note L. Soit la mesure de Lebesgue sur (0, 1). Montrer
10

---