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Teorema Pi

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Teorema Π de Buckingham. Aplicación al
cálculo de pérdida de carga en tuberías
Mecánica del Continuo
16 de mayo de 2008

Introducción
Nos referimos al análisis dimensional como aquellos procedimientos que
basados en el análisis de las variables y parámetros que gobiernan un fenó-
meno, y más especícamente en las magnitudes físicas que dichas variables
involucran, permiten encontrar relaciones entre las variables que forman pa-
rámetros adimensionales. El problema físico queda entonces descripto, con el
mismo grado de delidad, por este nuevo conjunto reducido de parámetros
adimensionales. Enfatizamos la palabra reducido, dado que esta es una de
las ventajas del análisis dimensional. Al ser menor el número de variables o
parámetros, es posible organizar y expresar más ecientemente los resultados
de la experimentación.
La otra gran ventaja es que permite identicar con más facilidad, aque-
llos sistemas que son similares. Aunque el concepto de similaridad requiere
un análisis más profundo, 1 diremos que básicamente la similitud es lo que
permite que los resultados y mediciones obtenidos sobre un modelo a escala
sea extrapolables a prototipos de tamaño real.
Existen dos conceptos fundamentales en los cuales se basa el análisis
dimensional.
El primer concepto es en realidad un postulado o axioma y establece que
cualquier ecuación que represente en forma correcta un fenómeno físico, tiene
que ser invariante ante un cambio en el sistema de medición (unidades). Al-
gunos autores han mostrado que para que este axioma se cumpla, la ecuación
que representa el fenómeno debe ser un monomio como el siguiente
va1va2 . . . van = 1
(1)
1
2
N
De acuerdo a esto, cualquier ecuación que represente un fenómeno físico
involucrando las variables/parámetros (v1, v2, v3, . . . , vN) se debería poder
expresar en la forma de (1).
El segundo concepto, es en realidad una consecuencia del postulado de
invariancia dimensional. Es decir, para que una ecuación que representa un
1Ver transparencias de la clase teórica
1

fenómeno físico sea invariante ante un cambio en el sistema de medida (o
unidades), la misma debe cumplir con el principio de homogeneidad dimen-
sional:
Si una ecuación verdaderamente expresa una relación apro-
piada entre variables en un fenómeno físico, entonces cada uno
de sus términos aditivos, deben necesariamente tener las mismas
dimensiones o unidades. Entonces, se dice que la ecuación es di-
mensionalmente homogénea.
Un ejemplo de este principio lo podemos ver en el balance macroscópico
de cantidad de movimiento
d
ρvdV +
ρv(v − w) · ndA =
ρgdV +
t(n)dA
(2)
dt V (t)
Ae(t)
V (t)
A(t)
La expresión anterior no es otra cosa que el principio del momento lineal
aplicado a un volumen de control arbitrario. Así vemos que cada término de
la ecuación tiene dimensiones o unidades de fuerza ([F ] = [ML/T 2]) y ade-
más tiene un signicado físico claro (fuerzas de volumen, fuerzas de contacto,
etc.). Supongamos que trabajamos en el sistema MKS y por lo tanto todos los
términos de la ecuación tendrán unidades de Newton (1[N] = 1[Kg m/s2]).
Ahora si cambiamos al sistema CGS, donde la unidad de fuerza en la dy-
na (1[dyn] = 1[gr cm/s2] = 10−5[N]), el factor 10−5 aparecerá en todos los
términos y por lo tanto se puede eliminar de la ecuación. De esta forma
la ecuación queda invariante ante un cambio de sistema de unidades. Con
el mismo concepto, si en una relación con términos aditivos y dimensional-
mente homogénea realizamos una operación que deje sin dimensiones uno
de sus términos, entonces necesariamente la misma operación eliminará las
dimensiones de cualquiera de los términos restantes de la ecuación.
Entendemos como magnitudes físicas fundamentales a la masa (M), la
longitud (L), el tiempo (T ), la temperatura (C), la carga eléctrica (Coulomb),
etc. En los problemas que habitualmente abordamos en este curso, basta con
2

considerar solamente las primeras tres. Por ejemplo, las unidades dimensio-
nales de la variable (o parámetro) densidad (ρ) se expresan a partir de las
magnitudes fundamentales masa y longitud, esto es [ρ] = [ML−3T 0].
Una herramienta muy valiosa en el análisis dimensional es el conocido
teorema Π de Buckingham. Mediante este teorema, es posible reducir el nú-
mero de parámetros o variables de los cuales depende un fenómeno físico,
mediante la generación de grupos adimensionales que involucran dichas va-
riables. Resulta particularmente valioso cuando no se conoce la ecuación que
gobierna un fenómeno y se busca encontrar dicha relación mediante la ex-
perimentación de laboratorio. En las secciones siguientes vamos a enunciar
el teorema, establecer un método para su aplicación y mostraremos su uti-
lización a través del ejemplo clásico e ilustrativo de la pérdida de carga en
tuberías de sección cilíndrica.
Teorema Π
Consideremos un fenómeno físico, el cual depende de N variables y/o
parámetros (v1, v2, v3, . . . , vN), las cuales a su vez involucran K magnitu-
des físicas fundamentales (o básicas). Supongamos que existe una relación
funcional entre las N variables, del tipo
F (v1, v2, v3, . . . , vN ) = 0
(3)
Luego, el teorema Π nos asegura que es posible representar el mismo
fenómeno físico mediante otra relación funcional equivalente, que depende de
m = N − K parametros adimensionales πi, es decir, de un número reducido
de parámetros
φ(π1, π2, π3, . . . , πm) = 0
(4)
Es importante aclarar que el teorema no aporta ninguna información acer-
ca de la relación funcional F o φ. Es decir que si no se conoce la ecuación que
gobierna el fenómeno, mediante la aplicación del teorema no podremos de-
terminarla. El mismo sólo nos mostrará que grupos adimensionales se pueden
3

formar a partir de las variables dimensionales originales.
La metodología para encontrar estos πj grupos adimensionales se puede
detallar así:
Seleccionar K de las variables vi dimensionales originales, que llama-
remos variables núcleo. Entre las K variables deben estar contenidas
las K magnitudes físicas fundamentales y no se debe poder formar un
grupo adimensional al realizar un producto de potencias entre ellas.
Cada grupo adimensional πj se formará como un producto de potencias
entre las K variables núcleo y una (y solo una) de las restantes m
variables físicas no usadas.
Como el producto de potencias de todas las variables del grupo debe
resultar en una cantidad sin dimensiones, las potencias incógnitas a
la que está elevada cada variable dimensional se determinan resolvien-
do un sistema algebraico, planteado con la condición que la suma de
potencias de cada magnitud física debe ser nula.
Esta metodología que, en primera instancia, parece bastante críptica y
complicada, es muy sencilla de aplicar y resultará clara al resolver el si-
guiente ejemplo. Para completar la comprensión de porqué se aplica dicha
metodología, se debería ver la demostración del teorema que se incluye en el
Apéndice.
Cálculo de la pérdida de carga en tuberías cilín-
dricas
Consideremos un tubo recto de sección cilíndrica (diámetro D) y longitud
l, por el cual circula en estado estacionario y con velocidad media V , un uido
de densidad ρ y viscosidad µ, gracias a una diferencia de presión entre las
secciones de entrada y salida (∆p = pe−ps). Mediante algunos experimentos,
se pudo determinar que existe una relación funcional el gradiente de presión
4

(denido como ∆p/l), las variables anteriores y además la rugosidad de la
pared del tubo . Es decir, existe alguna F desconocida tal que
F (∆p/l, V, ρ, µ, D, ) = 0
(5)
Supongamos que deseamos realizar experimentos para determinar la for-
ma de dicha función. En la forma como está planteada la relación, si jamos
una variable y cambiamos cada una de las otras en forma independiente,
(digamos en 10 valores por cada una, es fácil ver que necesitaríamos 105
experimentos para encontrar la función F . Una tarea claramente imposible,
pero a la vez innecesaria.
Como hemo propuesto, podemos aplicar al teorema Π para encontrar un
número reducido de parámetros adimensionales, en base a los cuales se podrá
conducir una experimentación más razonable y ordenada. Para este caso
tenemos N = 6 y K = 3 (masa, longitud y tiempo), con lo cual podremos
encontrar m = 3 parámetros o grupos adimensionales.
Siguiendo con los pasos de aplicación del teorema Π, primero expresamos
todos los parámetros y variables en función de las unidades fundamentales
involucradas
[ρ] =
M L−3T 0
[µ] =
M L−1T −1
[∆p/l] =
M L−2T −2
[V ] =
M 0LT −1
(6)
[D] =
M 0LT 0
[ ] =
M 0LT 0
Ahora seleccionamos m = 3 variables núcleo que contengan las 3 magni-
tudes fundamentales y que no formen un grupo adimensional al multiplicarlas
entre sí. Por simple inspección, vemos que el grupo (ρ, V, d) cumple con di-
chos requisitos. Obviamente este no es el único grupo posible, por ejemplo
(ρ, V, ) también lo cumple y otros también. No obstante, dependiendo del
5

grupo núcleo elegido, será la forma que adopten los parámetros adimensio-
nales y aquí es donde la práctica y pericia es importante. Tomando el grupo
(ρ, V, d) entonces, ahora formaremos los 3 grupos adimensionales de la si-
guiente forma
π1 = ρx1V y1Dz1µ
π2 = ρx2V y2Dz2∆p/l
(7)
π3 = ρx3V y3Dz3
En la expresión anterior, los exponentes (xi, yi, zi) son incógnitas que
se deben determinar de tal forma que cada producto de un resultado sin
dimensiones. Para ello, debemos plantear y resolver un sistema de ecuaciones
para cada parámetro adimensional, el cual consistirá de tres ecuaciones, una
por cada magnitud física fundamental. El caso del número adimensional π3 es
obvio que la única solución posible es (xi, yi, zi) = (0, 0, −1). De esta forma,
el parámetro quedará π3 = /D, el cual se conoce como rugosidad relativa
r y es un parámetro fundamental para el cálculo de pérdida de carga en
tuberías. Desarrollemos con más detalle el procedimiento para el caso del
parámetro π1. Si escribimos los sistemas de ecuaciones para las magnitudes
físicas, tendremos
π1 = ρx1V y1Dz1µ ⇒
⇒ [π1] =
M L−3T 0 x1 M 0LT −1 y1 M 0LT 0 z1 M L−1T −1
(8)
Como el lado izquierdo de la ec. 8 no tiene dimensiones y las magnitu-
des físicas fundamentales son independientes entre sí, se deben vericar las
siguientes tres relaciones en forma simultánea
6

Para M : 0 = x1 + 1
Para L: 0 = −3x1 + y1 + z1 − 1
(9)
Para T : 0 = −y1 − 1
La solución del sistema es (xi, yi, zi) = (−1, −1, −1) , con lo cual el
parámetro adimensional queda π1 = µ/(ρV D) = 1/Re, donde Re es sin
duda el grupo adimensional más conocido de la mecánica de uidos y se
lo conoce como número de Reynolds. Este número relaciona las fuerzas de
inercia con las viscosas en un problema dado y para el caso particular de
ujo en tuberías cilíndricas, si Re < 2300 el régimen del ujo será laminar,
mientras que para Re mayores el ujo será turbulento.
Con un procedimiento equivalente al previo, el parámetro adimensional
restante queda π2 = (∆p/l)D/(ρV 2).
Luego, el teorema nos asegura que existe una nueva relación funcional
φ(1/Re, (∆p/l)D/(ρV 2), r) = 0
(10)
que representa el fenómeno físico de manera equivalente a la función F , pero
que obviamente depende de menos parámetros. Para poner la relación (10)
en una forma más familiar y útil, podemos pensar que así como existe φ,
también existe una función ψ con la siguiente forma
(∆p/l)D/(ρV 2) = ψ(Re, r)
(11)
Si de la ec. (11) despejamos ∆p, dividimos ambos miembros por ρg y
multiplicamos y divimos por 2 el lado derecho, podemos reescribir la misma
como
hf = ∆p/(ρg) = 2ψ(Re, r) V 2/(2g)(l/D)
(12)
f (Re, r)
En la expresión anterior, la igualdad hf = ∆p/(ρg) se obtiene muy fá-
cilmente realizando un balance de energía entre las secciones de entrada y
7

salida de un tubo horizontal, considerando que el ujo se encuentra en estado
estacionario y que no existen bombas (o turbinas) en el tramo considerado.
Es decir, la caida de presión se produce debido a la pérdida viscosa por fric-
ción. La nueva variable f = f(Re, r) es el conocido factor de fricción y para
el cálculo del mismo existen varios métodos. Sin duda, el método más famo-
so para su obtención es el denominado diagrama de Moody, que puede ser
consultado en cualquier libro de mecánica de uidos básica. Este diagrama
contiene los valores del factor de fricción obtenidos el forma experimental en
función del Re, para diferentes rugosidades relativas del material de la tube-
ría. Vemos así que con la ayuda del análisis dimensional, fue posible reducir
a la mitad el número de parámetros del problema original y así expresar en
un sólo y elegante gráco, un volumen enorme de información. Gracias al
principio de similitud, sistemas muy diferentes entre sí (diferentes tuberías,
caudales, líquidos, etc.) tendrán el mismo factor de fricción, si las rugosida-
des relativas y el Re de todos ellos coinciden. Por lo tanto, cada punto de
la gráca de Moody no corresponde a un sólo resultado físico posible, sino a
muchos.
8

Apéndice: Demostración del teorema Π
Consideremos una función F que expresa en forma adecuada la relación
entre las N variables y parámetros que gobiernan un fenómeno físico
F (v1, v2, . . . , vN ) = 0
(13)
Mediante la palabra adecuada, damos a entender que para la ecuación
se verica el principio de homogeneidad dimensional y por lo tanto todos
sus términos aditivos tienen las mismas dimensiones físicas fundamentales.
Supongamos que el número de dichas dimensiones fundamentales es K y
que las dimensiones de cada variable vj se puede expresar respecto a las
dimensiones fundamentales como
[vj] = [aj1 aj2 . . . ajK]
(14)
Esta es una forma compacta y unicada de representar las unidades de
un variable particular. Es decir, el coeciente ajk es la potencia a la que
se encuentra elevada la magnitud fundamental k en las dimensiones del pa-
rámetro vj. 2 Luego, en la ec. 14 si variamos j = 1 . . . N formaremos una
matriz de coecientes A = ajk , siendo cada columna j la representación
dimensional de la variable vj con respecto a la base fundamental de tamaño
K; supongamos también que el rango de dicha matriz es r ≤ K. Entonces,
la hipótesis establece que la ec. 13 es reducible a la forma
φ(π1, π2, . . . , πN−r) = 0
(15)
siendo π1, . . . , πN−r, (N −r) monomios adimensionales formados por pro-
ductos de la potencias de las variables vj, tomados como se verá durante la
demostración del teorema.
2Por ejemplo, la densidad [ρ] = ML−3T 0 tiene la representación (coecientes) [ρ] =
[1 − 3 0] en el sistema fundamental [M LT ].
9

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