theo probeklausur

RWTH Aachen
Prof. Dr. V. Meden
Institut f¨
ur Theoretische Physik A
Dr. C. Karrasch
WS 2010/11
Einf¨
uhrung in die Theoretische Physik
Probeklausur
Aufgabe 1: Funktionen (3+2+2+3 = 10 Punkte)
Gegeben sei die Funktion
1
f : R → R , f(x) =
, T, µ > 0 .
1 + exp x−µ
T
(a) Zeigen Sie, dass f (µ + a) = 1 − f(µ − a) gilt. Dr¨ucken Sie f durch die Funktion tanh aus.
(b) Berechnen Sie die Ableitung f . Skizzieren Sie f sowie f f¨
ur zwei verschiedene T .
(c) Diskutieren Sie die Grenzf¨alle T → 0 sowie x µ.
(d) Bestimmen Sie µ in Abh¨angigkeit von T derart, dass
∞
!
f (x) dx = N
0
gilt, wobei N eine vorgegebene positive Zahl ist. Ist dies stets m¨oglich?
Aufgabe 2: Vektorr¨
aume (3+7 = 10 Punkte)
Wir betrachten den Vektorraum Cn, eine Orthonomalbasis {ei,i = 1...n} sowie eine n × n–Matrix T,
die ¨
uber
Tei = ei+1 f¨
ur i = n ,
Ten = e1
definiert ist.
(a) Geben Sie die Matrizen T und T2 bzgl. der Basis {ei} explizit an. Ist T hermitesch und/oder
isometrisch? Zeigen Sie, dass Tn die Einheitsmatrix darstellt.
(b) Betrachten Sie den Vektor k =
n
eikle
l=1
l, wobei k eine reelle Zahl und i die imagin¨
are Einheit ist.
Weisen Sie nach, dass
Tk = e−ikk + eikn − 1 e1
gilt. Benutzen Sie dies, um die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren von T zu bestimmen.
Zeigen Sie durch explizite Rechnung, dass die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten senkrecht
zueinander sind. H¨atten Sie dies erwartet?
Aufgabe 3: Vektorfelder; Integrale (5+5 = 10 Punkte)
(a) Berechnen Sie das Integral G · F dxdydz f¨ur
√
x
F (x) = e−a x2+y2+z2 
yz , G = {x ∈ R3 : x2 +y2 +z2 ≥ b2} , a,b > 0 .
L¨asst sich F in der Form F = − φ darstellen? Bestimmen Sie ggf. das Potential φ durch Integration
von F entlang eines m¨oglichst einfachen Weges.
(b) In der komplexen Ebene betrachten wir die Menge der Punkte
Γλ = {γλ(t) = cos(t) + λisin(t) ∈ C : t = 0...2π} ,
wobei λ > 0 eine (feste) reelle Zahl ist. Skizzieren Sie Γλ. Berechnen Sie dann f¨
ur die Funktion
f : C → C, f(z) = (1 + z)2 das Integral
2π
dγ
f (z)dz :=
f γ
1(t)
1(t)
dt ,
Γ
dt
1
0
indem Sie Real- und Imagin¨arteil einzeln integrieren.

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Aufgabe 4: Newtonsche Mechanik (10 Punkte)
Im Eindimensionalen wirke auf ein punktf¨ormiges Teilchen der Masse m die Kraft
F = −mg ˙x + b ˙x3 , g,b > 0 .
Bestimmen Sie die L¨osung der Newtonschen Bewegungsgleichung mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0,
˙x(0) = v0. Diskutieren Sie das Verhalten der Geschwindigkeit f¨
ur Zeiten t
1/b. Gilt Energieerhaltung?
Hinweis: Sie k¨
onnen verwenden, dass
dx
√
= arcsin(x) gilt.
1−x2
Kontrollergebnis:
e−gt
˙x(t) = v0
.
1 + bv2 (1
0
− e−2gt)
Aufgabe 5: Newtonsche Mechanik der N -Teilchensysteme (10 Punkte)
Betrachten Sie N punktf¨ormige Teilchen mit Massen mi, i = 1 . . . N . Auf das i-te Teilchen wirke die
Kraft
N
Fi = F ext +
F
i
i,j .
j=1
Nehmen Sie an, dass die Resultante F ext =
N
F ext der ¨außeren Kr¨afte F ext verschwindet, dass f¨
ur die
i=1
i
i
Paarkr¨afte Fi,j = −Fj,i gilt und dass weiterhin Fi,j in Richtung der Verbindungslinie der Teilchen i und
j zeigt. Zeigen Sie: Verschiebt man den Ursprung des Koordinatensystems um einen Vektor parallel der
Bewegungsrichtung des Schwerpunkts, so ¨andert sich der Gesamtdrehimpuls nicht. Ist Letzterer zeitlich
konstant?

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