ui

Capitulo 1
Campo El
etrico
1.1
Prel
udio
* O Eletromagnetismo e o estudo i) da geracao e da propagacao de campos eletricos e
magn
eticos por cargas el
etricas e ii) da din
amica de cargas em resposta a estes campos.
* A geracao de campos por cargas e descrita pelas Equacoes de Maxwell e, em casos parti-
culares, por leis simples como a Lei de Coulomb e a Lei de Biot-Savart.
* Uma vez criados, os campos se propagam como ondas no espaco com uma velocidade constante
e igual
a velocidade da luz.
* Na presenca de campos eletricos e magneticos, cargas sofrem forcas eletricas e magneticas de
acordo com a For
ca de Lorentz.
* Todos os fenomenos eletromagneticos sao descritos de uma forma ou outra pelas Equacoes de
Maxwell e pela Forca de Lorentz. Elas, respectivamente, dizem as cargas como gerar campos,
e aos campos como afetar as cargas.
* O eletromagnetismo tem grande importancia pratica, pois as interacoes eletromagneticas des-
crevem
atomos, moleculas, propriedades dos materiais, aparelhos eletr
onicos, etc.
* Na Fisica, busca-se a unificacao de leis fundamentais, o que significa que leis descrevendo
fenomenos aparentemente distintos podem ser combinadas em uma descricao mais ampla e

unica dos fenomenos. O eletromagnetismo e o grande exemplo de unificacao de leis fisicas.
* Veremos que fenomenos eletricos e fenomenos magneticos, iniciamente pensados como dis-
tintos, est
ao na verdade relacionados por um
unico formalismo, o Eletromagnetismo. Essa
unificac
ao vai alem desses fenomenos, e unifica tambem a
Otica como parte do eletromag-
netismo. Como veremos, a luz nada mais e do que ondas de campos eletromagneticos se
auto-criando e propagando; por isso chamamos a luz de radiac
ao eletromagn
etica. Essa uni-
ficacao gerou um grande debate no final do seculo XIX: se os campos se propagam com a
velocidade da luz, com relacao a que referencial deve ser medida essa velocidade? Essa questao
foi o que levou Einstein a propor em 1905 a Relatividade Especial, que revolucionou as
nocoes cl
assicas de espaco-tempo.
9

---

10
CAP
ITULO 1.
CAMPO EL
ETRICO
* Outro exemplo de unificacao: a interacao eletro-fraca, em que os fenomenos eletromagneticos
e a interacao nuclear fraca sao descritos por um formalismo
unico (premio Nobel de Fisica de
1979). Um dos grandes desafios da fisica moderna e unificar todas as interacoes da natureza
em um formalismo
unico; o eletromagnetismo e o maior exemplo que inspira essa busca.
* Embora a dinamica de galaxias no universo seja governada basicamente pela gravidade, varios
efeitos eletromagneticos sao tambem importantes. Alem disso, a maneira como astr
onomos
estudam gal
axias tambem se relaciona com o eletromagnetismo. Afinal de contas, a
unica
fonte de informacao que temos das gal
axias e a luz que elas nos enviam. Por meio desta
radiac
ao, devemos descobrir todas as propriedades da gal
axia relevantes para estudos as-
trofisicos e cosmol
ogicos. Esssa propriedades incluem o tamanho da gal
axia, o seu tipo,
a sua morfologia, os elementos quimicos que a compoem, sua temperatura, sua massa e sua
dist
ancia ate n
os; tudo isso tem que ser inferido pelos f
otons de luz enviados pelas g
alaxias.
* Portanto, os efeitos eletromagneticos sao de grande importancia sob varias perspectivas. Eles
descrevem a estrutura da materia, permeiam a tecnologia de ponta e tem profunda relacao
com outros topicos da fisica moderna e outras areas da ciencia.
1.2
Carga El
etrica
* A carga eletrica q e uma propriedade intrinseca fundamental das particulas.
* Existem dois tipos de carga eletrica: positiva e negativa.
* Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinal oposto se atraem mutuamente.
* A unidade de carga e o Coulomb, denotado C.
* O nucleo atomico e composto por protons (particulas de carga positiva) e neutrons (particulas
sem carga, i.e. eletricamente neutras). Os eletrons (particulas de carga negativa) orbitam
os n
ucleos atomicos devido
a atracao eletromagnetica. As cargas do proton e do eletron sao
identicas e opostas, com magnitude |qe| = 1.6 x 10-19C.
* A carga eletrica e conservada. Em qualquer processo fisico, a carga total antes e depois e a
mesma, i.e. cargas totais n
ao sao criadas nem destruidas. Se uma carga desaparece em algum
local, ela deve re-aparecer em outro. Veremos que a conservacao de cargas e automaticamente
garantida pelas Equacoes de Maxwell e n
ao precisa ser assumida independentemente.
* A carga eletrica e quantizada. Todas as cargas sao multiplos da carga do eletron, i.e. Q = nqe
para algum n inteiro. Paul Dirac mostrou que, se existissem cargas magneticas na natureza,
isso explicaria por que a carga eletrica e quantizada. Infelizmente, cargas magneticas nunca
foram observadas e a quantizac
ao da carga continua sendo um fato basicamente empirico.
1.3
For
ca El
etrica: Lei de Coulomb
* Uma carga pontual q1 separada por uma distancia r de uma segunda carga q2, exerce sobre
esta uma forca eletrica F12 m
utua. A forca e proporcional ao produto das cargas q1q2 e
inversamente proporcional ao quadrado da dist
ancia r, sendo dada pela Lei de Coulomb:
q
F
1q2
12 =

r12 ,
(Lei de Coulomb)
(1.1)
40r2

---

1.4.
CAMPO EL
ETRICO
11
onde 0 = 8.85 x10-12 C2/Nm2 e a permissividade eletrica no vacuo e r12 e um vetor unitario
na direcao das cargas. A constante de proporcionalidade e dada pela combinacao
1
k
= 9
4
x 109 Nm2/C2
(1.2)
0
* O sentido da forca depende do produto das cargas
q1q2. Para cargas de mesmo sinal, esse produto e
positivo e temos forca repulsiva. Para cargas de sinal
oposto, o produto e negativo e temos forca atrativa.
* A carga q2, por sua vez, exerce sobre a carga q1 uma
forca F21 de igual magnitude e direcao oposta, con-
forme a 3a Lei de Newton
F21 = -F12
Figura 1.1: Forca eletrica. (Serway)
1.4
Campo El
etrico
* Uma maneira conveniente de interpretar a interacao eletromagnetica das duas cargas q e q0,

e pensar que a carga q gera no espaco ao seu redor um campo eletrico E
q
E =

r
(1.3)
40r2
* O sentido do campo eletrico em r e para fora da
carga q, se q > 0 e para dentro da carga se q < 0.
* Pode-se pensar entao que a forca que uma carga q0
sofre ao ser posicionada proxima
a carga q resulta
da interacao de q0 com o campo eletrico E criado
por q. A forca Fe fica entao:
Fe = q0E
(1.4)
Figura 1.2: Campo eletrico. (Serway)
* Campo: forca por unidade de carga: E = Fe/q0.
* A vantagem dessa descricao e que o campo E existe, mesmo na ausencia da carga teste q0.
Se perturbarmos a carga q, o campo n
ao muda instantaneamente no espaco. A mudanca se
propaga com a velocidade da luz c, e somente ap
os um tempo t = r/c, a perturbacao chega

a dist
ancia r. O campo passa a ter vida propria e se torna um ente com propriedades fisicas,
como energia, momento, etc. Portanto, o campo n
ao e apenas um truque matem
atico para
calcular forcas, mas uma entidade fisica real.

---

12
CAP
ITULO 1.
CAMPO EL
ETRICO
* Nao e coincidencia que mudancas nos campos se progagam com a velocidade da luz. Como
veremos adiante, a luz nada mais e do que campos eletricos e magneticos se propagando no
espaco-tempo.
* Na descricao quantica do eletromagnetismo, particulas de luz chamadas fotons propagam
a interacao eletromagnetica entre cargas, viajando a velocidade da luz. Tanto a descricao
cl
assica (campos), quanto a qu
antica (fotons) sao corretas. Elas expressam a dualidade onda-
particula da natureza. Aqui focaremos na descricao cl
assica.
* Campos eletricos satisfazem o principio da superposicao. O campo total Etot
e
de um
conjunto de cargas qi com i = 1, ..., N e dado pela soma vetorial dos campos de cada uma
das cargas individuais:
N
Etot =
Eq
(1.5)
i
i=1
* Para distribuicoes continuas de carga, somas sao substituidas por integrais.
1.5
Linhas de Campo
Figura 1.3: Linhas de campo eletrico devido a cargas pontuais. (Serway)
* Linhas de Campo: representacao grafica do campo eletrico no espaco, tais que:
- O campo eletrico E e sempre tangente
a linha de campo.
- A densidade de linhas e proporcional
a intensidade do campo.
- Linhas de campo n
ao se cruzam, pois o campo eletrico e
unico em um ponto.

---

1.6.
EXEMPLOS
13
* Na Fig 1.3 , estao mostradas linhas de campo de certas configuracoes de cargas pontuais. As
linhas saem de cargas positivas e se entram em cargas negativas. Naturalmente, a densidade
de linhas e maior proximo
as cargas.
1.6
Exemplos
Com o principio de superposicao em mente, vamos calcular o campo eletrico em algumas confi-
guracoes de cargas. Para distribuicoes de carga, usamos cargas diferenciais dq = dx = dA = dV ,
onde , e sao densidades linear, superficial e volumetrica de carga, respectivamente, e dx, dA
e dV sao correspondentes elementos infinitesimais de comprimento, area e volume.
1.6.1
Carga Pontual
Como visto acima, para uma carga pontual q, o campo e simplesmente dado pela Lei de Coulomb
q
Eq =

r
(1.6)
40r2
Uma carga pontual configura um monopolo eletrico.
1.6.2
Dipolo
Considere o dipolo eletrico, formado por duas cargas,
sendo uma delas positiva de carga +q e a outra nega-
tiva de carga -q, separadas por uma distancia d. Pelo
principio da superposicao, o campo eletrico total em um
ponto P no eixo do dipolo, a uma dist
ancia z do seu cen-
tro conforme a Fig 1.4, e dado por
E = E+ - E-
q
q
=
4
-
0r2
+
40r2-
q
q
=
2 -
2
40z2 1 - d
4
2z
0z2
1 + d
2z
q
2d/z
=
40z2 [1 - ( d )2]2
2z
qd
1
=
(1.7)
20z3 [1 - ( d )2]2
2z
Para P distante do dipolo, i.e. para z d, podemos
desprezar o termo d/2z entre parenteses, e obtemos:
qd
p
E =
=
(Dipolo Eletrico) (1.8)
20z3
20z3
Figura 1.4: Campo eletrico de um dipolo
eletrico. (Halliday)
onde p = qd e o momento de dipolo. Pode-se mostrar
que, ao longo do eixo perpendicular ao do dipolo, o campo
tambem varia com a dist
ancia ao cubo, e portanto isso vale para qualquer ponto distante do dipolo.

---

14
CAP
ITULO 1.
CAMPO EL
ETRICO
Quando discutirmos potencial eletrico, veremos que para calcular o campo de um dipolo em
um ponto geral, e mais facil calcular primeiro o potencial eletrico e obter o campo eletrico como o
gradiente do potencial.
1.6.3
Anel de carga
Considere um anel carregado conforme a Fig 1.5. A carga dq contida
em um elemento de comprimento infinitesimal ds e dada por
dq = ds
Essa carga diferencial pode ser tratada como uma carga pontual e
gera um campo infinitesimal dE
dq
ds
dE =
=
40r2
40r2
O campo eletrico total e dado somando (integrando) a contribuicao de
todos os elementos infinitesimais. Por simetria, o campo deve apontar
na direcao z, pois contribuicoes na direcao radial se cancelam em pares
simetricamente opostos. Temos entao:
ds z
E =
dE cos =
anel
anel 40r2 r

z
2R
=
ds
40r2 r 0
z(2R)
=
40r3
Finalmente, usando q = 2R e r = z2 + R2, temos
qz
E =
(1.9)
40(z2 + R2)3/2
Uma outra forma de escrever esse resultado e
Figura 1.5: Anel carregado.
q
z
q
E =
=
cos
(1.10)
(Halliday)
40r2 r
40r2
que sera util quando considerarmos uma casca esferica. Note que quando R 0 ou z , temos
qz
q
E
=
,
40z3
40z2
como esperado para uma carga pontual.
1.6.4
Disco de carga
Considere agora um disco carregado conforme a Fig 1.6. Neste caso podemos considerar um anel
de raio (vari
avel) r e espessura dr como um elemento infinitesimal do disco. Como acabamos de
descobrir o campo gerado por um anel, temos
zdq
dE = 40(z2 + r2)3/2
A carga dq contida em um elemento de
area infinitesimal dA = (2r)dr e dada por
dq = dA = (2r)dr

---

1.6.
EXEMPLOS
15
Portanto, o campo total e dado por
zdq
E =
dE =
disco
disco 40(z2 + r2)3/2
z(2r)dr
=
40(z2 + r2)3/2
z
R
2r dr
=
40 0 (z2 + r2)3/2
Fazendo a substituicao u = z2 + r2, du = 2r dr, temos
z
R
2r dr
E =
40 0 (z2 + r2)3/2
z
z2+R2 du
=
40 z2
u3/2
z
2
z2+R2
=
4
-
0
u1/2 z2
z
2
R
=
4
-
0
z2 + r2 0
Figura 1.6: Disco carregado.
z
2
2
=
(Halliday)
4

0
z -
z2 + R2
ou seja

z
E =
1
(1.11)
2
-
0
z2 + R2
Note que quando R , temos que o campo de uma placa infinita e constante:

E =
(1.12)
20
Por outro lado, para R 0 ou z , podemos fazer uma expansao binomial, obtendo
z
1
R2

=
z2 + R2
1 -
2
2z2
1 + Rz
Neste caso, como a carga total do disco q = (R2), temos

R2
(R2)
q
E =
=
=
(1.13)
20
2z2
40z2
40z2
Ou seja, como esperado, nesse limite o disco parece uma carga pontual.

---

16
CAP
ITULO 1.
CAMPO EL
ETRICO
Figura 1.7: Linha carregada. (Young & Freedman)
1.6.5
Linha de carga
Considere agora o campo em um ponto x devido a uma linha de carga Q, comprimento 2a e
densidade linear de carga constante = dQ/dy = Q/2a como mostrado na Fig. 1.7
Por simetria, temos que Ey = 0, pois elementos opostos se cancelam. Mas vamos mostrar que
isso resulta matematicamente tambem. A magnitude da contribuicao diferencial dE devido ao
elemento dQ e
dQ
dy
dE =
=
40r2
40(x2 + y2)
temos
dy
x
x
dy
dEx = dE cos =
=
40(x2 + y2) r
40 (x2 + y2)3/2
dy
y

ydy
dEy = dE sin =
=
40(x2 + y2) r
40 (x2 + y2)3/2
A integral em dEy e identica ao do problema de um disco carregado. Obtemos
a

a
ydy

1
Ey =
dEy =
=
= 0
(1.14)
4
-
0
(x2 + y2)3/2
4
-a
0
x2 + y2 -a
como esperado. Para Ex obtemos
x
a
dy
Ex =
dEx = 40
(x2 + y2)3/2
-a
Precisamos calcular a integral
dy
1
dy
=
(x2 + y2)3/2
x3
(1 + (y/x)2)3/2

---

1.6.
EXEMPLOS
17
Fazendo y = tan , temos dy = x d tan d = x(1 + tan2 )d = xd e portanto
x
d
cos2
dy
1
xd
1
sin
=
=
du cos =
(x2 + y2)3/2
x3
cos2 (cos-2 )3/2
x2
x2
Imaginando um tri
angulo retangulo de catetos y e x e hipotenusa
x2 + y2, como tan = y/x,
segue que sin =
y

. Portanto:
x2+y2
dy
y
=
(1.15)
(x2 + y2)3/2
x2
x2 + y2
e temos finalmente
a
x
a
dy
x
y
x
2a
Ex =
=
=
40
(x2 + y2)3/2
4
4
-a
0
x2
x2 + y2
0
x2x2 + a2
-a
2a
1
=
(1.16)
40
x2
1 + (a/x)2
Novamente, no limite em que x ou a 0, usando Q = 2a, a linha parece uma carga pontual:
Q
Ex =
(1.17)
40x2
Por outro lado, para a , temos uma linha infinita de carga e o campo e dado por
2a
1

Ex =
=
(1.18)
40
x2(a/x)
20x
1.6.6
Casca Esf
erica e Esfera
Considere agora uma casca esferica carregada dada na Fig 1.8. Vamos considerar primeiro o campo
Figura 1.8: Casca esferica carregada. Campo fora da casca.
em um ponto m fora da casca esferica. O elemento infinitesimal indicado na figura e um anel com
carga diferencial dq. Por simetria, o campo aponta ao longo da direcao r, e o modulo e dado por
dq
dEr = dE cos =
cos
40s2

---

18
CAP
ITULO 1.
CAMPO EL
ETRICO
O elemento de carga dq e dado por
dq = (2R sin )(Rd)
e portanto
dq
(2R2)
sin cos
Er =
cos =
d
40s2
40
s2
Como s e sao funcoes de , e conveniente fazer a integracao em s. Usando a lei dos cossenos para
e temos
s2 = r2 + R2 - 2rR cos
R2 = r2 + s2 - 2rscos
Destas relacoes, temos
sds
2sds = 2rR sin d sind = rR
r2 + s2
cos =
- R2
2rs
e o campo se torna
(2R2)
sds r2 + s2
1
E
- R2
r
=
40
rR
2rs
s2
(R)
r2 + s2
=
ds
- R2
40r2
s2
(R)
r2
=
ds 1 +
- R2
40r2
s2
(R)
r2
r+R
=
s
- R2
4
-
0r2
s
r-R
(R)
1
1
=
(r + R)
4
- (r - R) - (r2 - R2)
0r2
r + R - r - R
Figura 1.9: Casca esferica carre-
(R)
(r
gada. Campo dentro da casca.
=
2R
- R) - (r + R)
4
- (r2 - R2)
0r2
(r + R)(r - R)
(R)
(4R2)
=
[2R + 2R] =
40r2
40r2
q
=
(1.19)
40r2
Portanto, o campo de uma casca esferica e o mesmo de uma carga pontual com carga q localizada
no centro da casca esferica.
Para pontos dentro da casca esferica, o calculo e identico, mas de acordo com a Fig 1.9. os

---